作业帮三分之一+三的平方分之二+三的三次方分之三+.+三的六次方分之六等于多少,在没算?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 12:32:38
三分之一+三的平方分之二+三的三次方分之三+.+三的六次方分之六等于多少,在没算?
三分之一+三的平方分之二+三的三次方分之三+.+三的六次方分之六等于多少,在没算?
三分之一+三的平方分之二+三的三次方分之三+.+三的六次方分之六等于多少,在没算?
原式=
(1/3+...+1/3^6)+(1/3^2+...+1/3^6)+(1/3^3+...+1/3^6)+(1/3^4+...+1/3^6)+(1/3^5+1/3^6)+1/3^6
每个都是等比数列,公比1/3,会算了吧
1/3 + 2/(3^2) + 3/(3^3) + 4/(3^4) + 5/(3^5) + 6/(3^6)
=(3^5)/(3^6) + (2*3^4)/(3^6)+...+6/(3^6)
=[3^5 + 2*3^4 + 3 * 3^3 + 4*3^2 + 5*3 +6]/(3^6)
=[3^5 + 2*3^4 + 3 * 3^3 + 4*3^2 + 5*3 + 2*3]...
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1/3 + 2/(3^2) + 3/(3^3) + 4/(3^4) + 5/(3^5) + 6/(3^6)
=(3^5)/(3^6) + (2*3^4)/(3^6)+...+6/(3^6)
=[3^5 + 2*3^4 + 3 * 3^3 + 4*3^2 + 5*3 +6]/(3^6)
=[3^5 + 2*3^4 + 3 * 3^3 + 4*3^2 + 5*3 + 2*3]/(3^6)
=[3^4 + 2*3^3 + 3 * 3^2 + 4*3 + 5 +2]/(3^5)
=[81 + 18 + 27 + 12 + 5 +2]/(3^5)
=145/243
收起
原式=∑{i|1:6}∑{k|i:6}(1/3^k)，运用等比数列求和公式，化简后可得
原式=（3^6-5)/(4*3^5) =181/243。经求和验算，成立。
对于最高次为n的情形，可表示为：
∑{i|1:n}∑{k|i:n}(1/3^k)=(3^(n+1)-2n-3)/(4*3^n)
n=6代入上式，结果与上面计算的相同。
因化简过程书写太麻烦，这里...
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原式=∑{i|1:6}∑{k|i:6}(1/3^k)，运用等比数列求和公式，化简后可得
原式=（3^6-5)/(4*3^5) =181/243。经求和验算，成立。
对于最高次为n的情形，可表示为：
∑{i|1:n}∑{k|i:n}(1/3^k)=(3^(n+1)-2n-3)/(4*3^n)
n=6代入上式，结果与上面计算的相同。
因化简过程书写太麻烦，这里不列出，有兴趣的朋友可以推算验证一下。
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