作业帮勾股数有什么特点勾股数其中一个为什么是五的倍数?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 00:27:25
勾股数有什么特点勾股数其中一个为什么是五的倍数?
勾股数有什么特点
勾股数其中一个为什么是五的倍数?
勾股数有什么特点勾股数其中一个为什么是五的倍数?
你是不是看错了,应该是勾股数其中一个为什么是3的倍数,证明如下：
a^2+b^2=c^2
首先假设3不能除以a和c
a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)
则(c-b),(c+b)都不能被3整除
不被3整除的话,其表现形式为3n加减1,先设c=3k1+1,则b+c=3k2-1,不然b则为3的倍数.
则,b＝3k2-1-(3k1+1)=3k3+1
因c=3k1+1,则c-b为3的倍数,得出反证,
同理,如果c=3k1-1的形式,也会得出反证.
所以如果a^2+b^2=c^2,a和c不被3整除,b则一定为3的倍数.
现在设a,b不被3整除,根据上面的证明,可以得出：如果a^2+b^2=c^2,a,b不被3整除,则c不能不被3整除.因为如果c不被3整除,a也不被3整除,b则必定要是3的倍数才能符合a^2+b^2=c^2.如abc都不被3整除,则会与上面的证明产生反证.
所以,
勾股数中必有一数是3的倍数.
反证法
假设没有一个数是3的倍数，一个数的平方除3的余数都必然是1
而1+1≠1
假设没有一个数是5的倍数，一个数的平方除5的余数必然是1或4，
考虑余数有三种情况1+4=5 有5的倍数 矛盾
1+1=2，4+4=8 和都不是非5的倍数的平方数的余数 矛盾
所以必有3和5的倍数...
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反证法
假设没有一个数是3的倍数，一个数的平方除3的余数都必然是1
而1+1≠1
假设没有一个数是5的倍数，一个数的平方除5的余数必然是1或4，
考虑余数有三种情况1+4=5 有5的倍数 矛盾
1+1=2，4+4=8 和都不是非5的倍数的平方数的余数 矛盾
所以必有3和5的倍数
收起
2n、n^2-1、n^2+1
n为自然数