如图所示,在△ABC中,点E在AC上,点N在BC上,在AB上找一个点F,使△ENF的周长最小,试说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 02:47:33
如图所示,在△ABC中,点E在AC上,点N在BC上,在AB上找一个点F,使△ENF的周长最小,试说明理由.
如图所示,在△ABC中,点E在AC上,点N在BC上,在AB上找一个点F,使△ENF的周长最小,试说明理由.
如图所示,在△ABC中,点E在AC上,点N在BC上,在AB上找一个点F,使△ENF的周长最小,试说明理由.
1.作点N关于AB的对称点N'
2.连结N'E,交AB于点F
点F即为所求
证明:
连结FN,
∵N、N'关于AB对称,
∴NF=N'F
在边AB上任找一点F',连结NF'、N'F'
三角形ENF的周长等于NE+EF+FN
三角形ENF'的周长等于NE+EF’+F'N
在三角形N'F'E中,N'F'+F'E大于N'E
而N'E=N'F+FE,N'F=NF,N'F'=NF'
∴三角形ENF的周长小于三角形NEF'的周长
从N做AB垂线交AB于P。延长NP到Q,使PQ=PN
连接EQ,交AB于F。就是需要找的点
理由是PN=PQ,∠NPF=∠QPF=90,PF=PF
△NPF≌△QPF,NF=QF
△ENF的周长最小,只要NF+EF最小,也就是QF+EF最小。
由于两点之间线段最短,所以连接EQ时,QF+EF最小
从N做AB垂线交AB于P。延长NP到Q,使PQ=PN
连接EQ,交AB于F。就是需要找的点
理由是PN=PQ,∠NPF=∠QPF=90,PF=PF
△NPF≌△QPF,NF=QF
△ENF的周长最小,只要NF+EF最小,也就是QF+EF最小。
由于两点之间线段最短,所以连接EQ时,QF+EF最小
E关于AB的对称点E',连NE'交AB于M
F=M时,周长最小为NE'+EN
当F在其他任意一点P时,
PE+PN=PE'+PN > NE'
作N关于AB的对称点G,连接EG交AB于M
当F=M时,△ENF周长最小为EN+EG
当F在AB上其他任意一处时,EF+FG>EG=EM+MN(两点之间线段最短)