有关直线与圆位置的问题.急已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0 问是否存在斜率为1的直线L,使圆C截得弦AB满足AB为直径的圆经过原点.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 11:38:09
有关直线与圆位置的问题.急已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0 问是否存在斜率为1的直线L,使圆C截得弦AB满足AB为直径的圆经过原点.
有关直线与圆位置的问题.急
已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0 问是否存在斜率为1的直线L,使圆C截得弦AB满足AB为直径的圆经过原点.
有关直线与圆位置的问题.急已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0 问是否存在斜率为1的直线L,使圆C截得弦AB满足AB为直径的圆经过原点.
存在.
x^2+y^2-2x+4y-4=0可转化为
(x-1)^2+(y+2)^2=9
圆C中心坐标为(1,-2).
通过原点的直线且斜率为1的直线方程为y=x
只要该直线与圆有两个交点,即此命题成立.
将直线方程代入圆方程可得:
2x^2+2x-4=0得两个解
x1=1,x2=-2
所以存在这样的一条直线L.
不存在。
证明过程你自己写。
思路是这样的:
斜率为1的直线直径过原点,说明AB在坐标轴上。(直径对角为直角。)
C没有两个点在坐标轴上斜率为1.
(x-1)²+(y+2)²=3²=9
设直线L为Y=X+A
代入圆C消去Y得2X^2+(2A+2)X+A^2+4A-4=0
故(X1+X2)/2 =-(A+1)/2 (Y1+Y2)=(A-1)/2
弦长为根号(18-2A^2-12A)
所以(A+1)^2/4+(A-1)^2/4 =(18-2A^2-12A)/4
全部展开
(x-1)²+(y+2)²=3²=9
设直线L为Y=X+A
代入圆C消去Y得2X^2+(2A+2)X+A^2+4A-4=0
故(X1+X2)/2 =-(A+1)/2 (Y1+Y2)=(A-1)/2
弦长为根号(18-2A^2-12A)
所以(A+1)^2/4+(A-1)^2/4 =(18-2A^2-12A)/4
解得A1=4 A2=-1
A1=4(舍去)
因此存在这样的直线
Y=X-1
方法就是假设存在
然后根据弦的中点到原点的距离=弦长的一半
列式解答求出A
节下来检验A是否满足题仪即L要与圆C相交求出A的范围
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不妨设直线L的方程为 x - y + m = 0 (其中,m为常数)
圆C的方程可化为:(x-1)²+(y+2)² = 3², 圆心为C(1,-2),半径为3
设圆心C到直线L的距离为 a
根据点到直线距离公式,有
a = |1-(-2) + m|/√(1²+1²) ...
全部展开
不妨设直线L的方程为 x - y + m = 0 (其中,m为常数)
圆C的方程可化为:(x-1)²+(y+2)² = 3², 圆心为C(1,-2),半径为3
设圆心C到直线L的距离为 a
根据点到直线距离公式,有
a = |1-(-2) + m|/√(1²+1²) = |m+3|/√2…………………………(*)
由题意,可知 弦AB = 2a
则, △ABC为等腰直角三角形,
且有, (2a)² = 3² + 3²
则,a = 3/√2
代回(*)式,得 |m+3|/√2 = 3/√2
解得,m=0 或 -6
∴存在直线L x-y = 0或 x-y - 6 = 0, 均可满足题意。
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