作业帮sinx 与（sinx）^2和（sinx）^3……0到π/2的定积分我是讲每一个的定积分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 15:20:22
sinx 与（sinx）^2和（sinx）^3……0到π/2的定积分我是讲每一个的定积分
sinx 与（sinx）^2和（sinx）^3……0到π/2的定积分
我是讲每一个的定积分
sinx 与（sinx）^2和（sinx）^3……0到π/2的定积分我是讲每一个的定积分
n=1时 为-1
若n>=2
n=2k+1时 为 （2k)!/(2k+1)!
n=2k时 为 （2k-1)!/(2k)! * pai/2
-1
（sinx）^n 0到π/2的定积分
n=1,2,3,...10对应的结果为：{1,Pi/4,2/3,3*Pi/16,8/15,5*Pi/32,16/35,35*Pi/256,128/315,63*Pi/512}
sinx: -cosx|(π/2,0)=-1
(sinx)^2=(1/2)(1-cos2x): (1/2)*(π/2)+(1/2)sin2x|(π/2,0)=π/4
(sinx)^3dx=-(sinx)^2dcosx=-(1-(cosx)^2)dcosx: 设t=cosx
-t+(1/3)t^3|(0,1)=1-1/3=2/3
这里是递推得到的通项公式：
n=2k+1时 为 （2k)!!/(2k+1)!!
n=2k时 为 [（2k-1)!!/(2k)!!]（π/2）
设f(n)=∫(sinx)^ndx
用分部积分求∫(sinx)^ndx不定积分，可以推到出下面公式。
∫(sinx)^ndx=-(sinx)^(n-1)*cosx+(n-1)*∫(sinx)^(n-2)dx)/n
因为-(sinx)^(n-1)*cosx|（0到π/2）
=-(sin(π/2))^(n-1)*cos(π/2)+(sin0)^(n-1)*cos0<...
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设f(n)=∫(sinx)^ndx
用分部积分求∫(sinx)^ndx不定积分，可以推到出下面公式。
∫(sinx)^ndx=-(sinx)^(n-1)*cosx+(n-1)*∫(sinx)^(n-2)dx)/n
因为-(sinx)^(n-1)*cosx|（0到π/2）
=-(sin(π/2))^(n-1)*cos(π/2)+(sin0)^(n-1)*cos0
=0
所以有
f(n)=∫(sinx)^ndx
=(n-2)/n*∫(sinx)^(n-2)dx)
=(n-2)/n*f(n-2)
因为f(1)=∫(sinx)dx=1 (其中积分均为0到π/2的定积分）
f(0)=∫dx=π/2 (其中积分均为0到π/2的定积分）
所以有递推公式，
f(n)=((n-1)/n)*((n-3)/(n-2))*((n-5)/(n-4))*....*(4/5)*(2/3)(n为大于1的正奇数）
f(n)=((n-1)/n)*((n-3)/(n-2))*((n-5)/(n-4))*....*(3/4)*(1/2)(π/2）(n为正偶数）
收起