作业帮一道数学轴对称图形题如图,△ABC中,∠B=∠C,AD是BC边上的中线,过D点分别做DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证E、F两点关于AD对称.（提示：连接EF,证明AD垂直平分EF）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 11:20:24
一道数学轴对称图形题如图,△ABC中,∠B=∠C,AD是BC边上的中线,过D点分别做DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证E、F两点关于AD对称.（提示：连接EF,证明AD垂直平分EF）
一道数学轴对称图形题
如图,△ABC中,∠B=∠C,AD是BC边上的中线,过D点分别做DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证E、F两点关于AD对称.（提示：连接EF,证明AD垂直平分EF）
一道数学轴对称图形题如图,△ABC中,∠B=∠C,AD是BC边上的中线,过D点分别做DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证E、F两点关于AD对称.（提示：连接EF,证明AD垂直平分EF）
角B = 角C,角BED = 角CFD = 90°,BD = DC(AD是中线,所以D是中点)
所以△BDE≌△CDF (角角边)
∴ BE = CF,ED=FD
又∵ BE=CF,AB=AC(等腰三角形两腰相等)
所以AE = AF
连接EF 交AD于H
因为ED = FD 且 ED⊥AB,FD 垂直AC
所以角EAH = 角FAH(角平分线上的点到角两边距离相等)
又∵AE=AF 且AH = AH
所以
△AEH ≌△AFH
∴EH = FH,角AHE =角AHF
又∵ 角AHE + 角AHF = 180°(EF是直线)
∴角AHE =角AHF = 90°
所以AD垂直平分EF
所以E、F两点关于AD对称
证毕
证明：因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD，又DE⊥AB,DF⊥AC，所以,∠BED=∠CFD=90°，且,∠B=∠C，故△BED≌△CFD。所以BE=CF，易知AB=AC，所以AE=AF，所以△AEF为等腰三角形，由已知可知AD是∠A的角平分线，所以AD垂直平分EF，即E、F两点关于AD对称。
连接EF交AD于O点
∵在△ABC中，∠B=∠C,AD是BC中线且DE和DF分别为D点到AB与AC的垂线
∴在△BED与△CFD中，∠B=∠C，∠BED=∠CFD=90°，BD=CD
∴RT△BED≌RT△CFD
∴ED=FD
又∵AD为△AED与△AFD公共线，且ED=FD,∠AED=∠AFD=90°
∴RT△AED≌RT△AFD
∴∠BA...
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连接EF交AD于O点
∵在△ABC中，∠B=∠C,AD是BC中线且DE和DF分别为D点到AB与AC的垂线
∴在△BED与△CFD中，∠B=∠C，∠BED=∠CFD=90°，BD=CD
∴RT△BED≌RT△CFD
∴ED=FD
又∵AD为△AED与△AFD公共线，且ED=FD,∠AED=∠AFD=90°
∴RT△AED≌RT△AFD
∴∠BAD=∠CAD,AE=AF
∴△EAF为等腰三角形
根据等腰三角形三线合一
∴AO垂直且平分EF，又因为O是AD与EF交点
∴E F两点关于AD对称
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