如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2√2,AE=BE=2． （I）求证：平面EAB⊥平面ABCD； （II）求二面角A-EC-D的余弦值．

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 05:50:00

如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2√2,AE=BE=2． （I）求证：平面EAB⊥平面ABCD； （II）求二面角A-EC-D的余弦值．
如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2√2,AE=BE=2． （I）求证：平面EAB⊥平面ABCD； （II）求二面角A-EC-D的余弦值．

如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2√2,AE=BE=2． （I）求证：平面EAB⊥平面ABCD； （II）求二面角A-EC-D的余弦值．
过A作平面AGH⊥EC分别交EC、DE于G、H.
∵ABCD是菱形,∴AD＝AB＝2、AD∥BC,又∠ABC＝60°,∴∠DAF＝120°.
由余弦定理,有：DF^2＝AB^2＋AF^2－2AD×AFcos∠DAF＝4＋1－2×2×1×cos120°＝7,
∴DF＝√7.
∵EF⊥平面ABCD,∴EF⊥DF,
∴由勾股定理,有：DE＝√（DF^2＋EF^2）＝√（7＋1）＝2√2.
∵△ABC是等边三角形,∴AC＝AB＝2.
由余弦定理,有：
cos∠AEG＝（AE^2＋EC^2－AC^2）/（2AE×EC）＝（2＋4－4）/（2×√2×2）＝√2/4.
∵EG⊥平面AGH,∴EG⊥AG,∴EG/AE＝cos∠AEG＝√2/4,∴EG＝（√2/4）AE＝1/2,
∴由勾股定理,有：AG＝√（AE^2－EG^2）＝√（2－1/4）＝√7/2.
∵ABCD是菱形,∴CD＝AB＝2,又EC＝2、DE＝2√2,∴DE^2＝CD^2＋EC^2,
∴由勾股定理的逆定理,有：CD⊥EC,而CD＝EC,∴∠GEH＝45°.
∵EG⊥平面AGH,∴EG⊥GH,又∠GEH＝45°,∴GH＝EG＝1/2、EH＝√2/2.
由余弦定理,有：
cos∠AED＝（DE^2＋AE^2－AD^2）/（2DE×AE）＝（8＋2－4）/（2×2√2×√2）＝6/8＝3/4.
由余弦定理,有：
AH^2＝EH^2＋AE^2－2EH×AEcos∠AED＝1/2＋2－2×（√2/2）×√2×（3/4）＝1.
由余弦定理,有：
cos∠AGH＝（AG^2＋GH^2－AH^2）/（2AG×GH）＝（7/4＋1/4－1）/［2×（√7/2）×（1/2）］
＝1/（√7/2）＝2√7/7.
∵AG⊥CE、HG⊥CE、H∈DE,∴∠AGH＝二面角A－CE－D的平面角,
∴二面角A－CE－D的余弦值为 2√7/7.

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,E是PD的中点.求证：PB∥ACE 已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,E为PA的中点,求证:pc//平面BDE. 如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点．（Ⅰ）AE⊥PD判定AE与PD是否垂直, 如图,在四棱锥o-abcd中,底面abcd是边长为一的菱形,abc=45 空间几何：如图,已知四棱锥P-ABCD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°如图,已知四棱锥P-ABCD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°（1）求证：AD⊥PB （2） 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2倍根号2 ,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC．如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2倍根号2 ,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平 如图 四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,PA垂直平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别为CD,PB的的中点,AE等于根号三psssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss 如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,直线PC与底面ABC所成的角为45度,E.F分别是BC.PC的中点 1.证明 我自己会 2.求二面角E-AF-C的余弦值 如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,∠BDA=60°,PA=PD,E为PC的中点.（2）求证：PB⊥BC注：PD不垂直底面ABCD 如图,如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,SA⊥底面ABCD,M为SA的中点,N为CD的中点．如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,SA⊥底面ABCD,M为SA的中点,N为CD的中点．（Ⅰ）证明：平面SBD⊥平面SAC；（ 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2,E是PC上一点,PE=2EC,如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2倍根号2 ,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ） 四棱锥P-ABCD的底面为菱形∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=根号3,E为PC的如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=根号3,E为PC中点. .在线段PC上是否存在一点M,使PC⊥MBD成立?若存 如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAB为正三角形,且与底面ABCD垂直,已知ABCD是边长为2的菱形,角BAD=60°,PA//平面BDM,求证 M为PC的中点 已知四棱锥p-ABCD的底面是菱形,PB=PD,E为PA的中点（1）求证PC平行平面BDE（2）求证 如图,在四棱锥P一ABCD中,底面ABCD是菱形,PA垂直ABcD,M为PD的中点1求证PB 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,PD垂直平面ABCD求证:平面PAC垂直平面PBD 如图,在四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,SB=SD=2倍根号2,底面ABCD是菱形,且角ABC=60度,E为CD的中点 提问,证明 如图,在四棱锥E－ABCD中,底面ABCD为正方形,AE垂直平面CDE,已知AE＝3,D...如图,在四棱锥E－ABCD中,底面ABCD为正方形,AE垂直平面CDE,已知AE＝3,DE＝4.求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值