正方形ABCD,E、F分别是BC、CD上一点,且AE=EF=AF,求证:S三角形ABE+S三角形ADF=S三角形CEF
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/30 19:54:03
正方形ABCD,E、F分别是BC、CD上一点,且AE=EF=AF,求证:S三角形ABE+S三角形ADF=S三角形CEF
正方形ABCD,E、F分别是BC、CD上一点,且AE=EF=AF,求证:S三角形ABE+S三角形ADF=S三角形CEF
正方形ABCD,E、F分别是BC、CD上一点,且AE=EF=AF,求证:S三角形ABE+S三角形ADF=S三角形CEF
由图形的轴对称性可知,三角形ABE与ADF全等,CE=CF
因为AE=EF=AF,所以三角形EAF是正三角形,角EAF=60度,角BAE=DAF=15度
将三角形ADF旋转到三角形ABM,使AD与AB重合,则AM=AE,角EAM=30度,S三角形ABE+S三角形ADF=S三角形AME
设CE=CF=x
则EF=AE=AM=(根号2)x
过E作EN垂直AM,则EN=1/2AE=1/2(根号2)x
计算得:S三角形CEF=1/2*x*x=1/2x平方
S三角形AME=1/2AM*EN=1/2x平方
所以S三角形ABE+S三角形ADF=S三角形CEF
证明:因为ABCD是正方形
所以AB=BC=AD=DC
角B=角D=角C=角BAD=90度
因为AE=AF=EF
所以三角形AEF是等边三角形
所以角EAF=60度
直角三角形ABE和直角三角形ADF全等(HL)
所以角BAE=角DAF
BE=DF
因为BC=BE+CE DC=DF+CF
所以CE=CF
所以...
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证明:因为ABCD是正方形
所以AB=BC=AD=DC
角B=角D=角C=角BAD=90度
因为AE=AF=EF
所以三角形AEF是等边三角形
所以角EAF=60度
直角三角形ABE和直角三角形ADF全等(HL)
所以角BAE=角DAF
BE=DF
因为BC=BE+CE DC=DF+CF
所以CE=CF
所以三角形ECF是等腰直角三角形
所以EF=根号2倍CE
三角形CEF的面积=1/2*CE*CF=CE^2/2
因为角BAE+角EAF+角DAF=90度
角EAF=60度
角BAE=角DAF
所以角BAE=角DAF=15度
在直角三角形DAF中,角D=90度
所以AD=cosDAF*AF=根号2倍CE*cos15=(根号3+1)/2倍CE
DF=AF*sinDAF=根号2倍CE*sin15=(根号3-1)/2倍CE
因为三角形ADF的面积=三角形ABE的面积=1/2*AD*DF
所以三角形ADF的面积=三角形ABE的面积=CE^2/4
所以三角形ABE的面积+三角形ADF的面积=CE^2/2
所以三角形ABE的面积+三角形ADF的面积=三角形CEF的面积
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