设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S(n+1)=4an+2(n∈N*).（1）设bn=a(n+1)-2an,求证：数列{bn}是等比数列（2）cn=an/2^n,求证：数列{cn}是等差数列

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/16 09:39:29

设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S(n+1)=4an+2(n∈N*).（1）设bn=a(n+1)-2an,求证：数列{bn}是等比数列（2）cn=an/2^n,求证：数列{cn}是等差数列
设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S(n+1)=4an+2(n∈N*).
（1）设bn=a(n+1)-2an,求证：数列{bn}是等比数列
（2）cn=an/2^n,求证：数列{cn}是等差数列

设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S(n+1)=4an+2(n∈N*).（1）设bn=a(n+1)-2an,求证：数列{bn}是等比数列（2）cn=an/2^n,求证：数列{cn}是等差数列
1、S(n+1)=4an+2
Sn=4a(n-1)+2
两式相减
S(n+1)-Sn=a(n+1)=4an-4a(n-1)
a(n+1)-2an=2[an-a(n-1)]
[a(n+1)-2an]/[an-a(n-1)]=2
{bn}是以2为公比,a2-2a1=3为首项的等比数列.
（其中a2的求法：S2=4a1+2=a1+a2,a2=5）
2、bn=a(n+1)-2an=3*2^(n-1)
两端同时除以2^(n+1),得a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=3/4
{cn}是公差为3/4,首项为a1/2^1=1/2的等差数列.

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1)S(n+1)=4an+2
Sn=4a(n-1)+2 S(n+1)-Sn
=4an+2-[4a(n-1)+2]=4(an-a(n-1))
又a(n+1)=S(n+1)-Sn
则a(n+1)=4(an-a(n-1))
整理得a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)]
即bn=2b(n-1)
数列{bn}是等比数列,公比为2,b1=a2-2a1=3
2）由1），bn=3*2^(n-1)=a(n+1)-2an
两边同除2^(n+1)
得3/4=a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n
数列{cn}是等差数列，公差为3/4

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S(n+1)=4an+2
所以n>=2时，Sn=4a(n-1)+2
相减
a(n+1)=S(n+1)-Sn=4an-4a(n-1)
a(n+1)-2an=2an-4a(n-1)=2[an-2a(n-1)]
所以[a(n+1)-2an]/[an-2a(n-1)]=2
所以bn=a(n+1)-2an是等比数列
bn=a(n+1)-2an是等比数列，q=2
所以bn=b1*2^(n-1)
S2=4a1+2=6
a2=S2-a1=5
所以b1=a2-2a1=3
所以bn=3*2^(n-1)
Cn-C(n-1)=an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)
=an/2^n-2a(n-1)/2^n
=[an-2a(n-1)]/2^n
=b(n-1)/2^n
=3*2^(n-2)/2^n
=3*1/4
=3/4
即Cn-C(n-1)=3/4是常数
所以是等差数列

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