作业帮高二数列题：设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时,证明……设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时,证明（1）an>=n+2(2)1/(1+a1) + 1/(1+a2) + ……+1/(1+an) =< 1/2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 14:40:56
高二数列题：设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时,证明……设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时,证明（1）an>=n+2(2)1/(1+a1) + 1/(1+a2) + ……+1/(1+an) =< 1/2
高二数列题：设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时,证明……
设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时,证明
（1）an>=n+2
(2)1/(1+a1) + 1/(1+a2) + ……+1/(1+an) =< 1/2
高二数列题：设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时,证明……设数列{an}满足an+1=an^2-nan+1,n为正整数,当a1>=3时,证明（1）an>=n+2(2)1/(1+a1) + 1/(1+a2) + ……+1/(1+an) =< 1/2
（1）当n=1时,a1>=3=1+2,an>=n+2成立；
当n >1时,an=（an-1）^2-nan-1+1,令S= an-（n+2）
=（an-1）^2-nan-1+1-（n+2）
=（an-1）^2-(n+1)an-1-1.
我们把S看作是以an-1为变数的二次函数,其中,
二次项系数=1大于0,
△=[-(n+1)]^2-4*1*(-1)= (n+1)^2+4>0,因此,S>0,
即an>n+2成立.
结合a1>=3有,an>=n+2成立.
1）用数学归纳法。
A（n+1）=An^2-nAn+1=An(An-n)+1>=An*2+1>=(n+2)*2+1=2n+5>n+1+2
（2）因为an>=n+2,所以an-n>=2
A(n+1)=An(An-n)+1>=2An+1
A(n+1)+1>=2(An+1)
1/(A(n+1)+1)<=1/(An+1)*1/2
1/(1+a1)=1/4,1...
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1）用数学归纳法。
A（n+1）=An^2-nAn+1=An(An-n)+1>=An*2+1>=(n+2)*2+1=2n+5>n+1+2
（2）因为an>=n+2,所以an-n>=2
A(n+1)=An(An-n)+1>=2An+1
A(n+1)+1>=2(An+1)
1/(A(n+1)+1)<=1/(An+1)*1/2
1/(1+a1)=1/4,1/(1+a2)<=1/2*1/4
1/(1+a1) + 1/(1+a2) + ……+1/(1+an) <=1/4(1+1/2+1/4+.....+1/2^(n-1))<1/4*2=1/2
当且仅当n=1时取等号。
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