帮忙找5个几何加辅助线的题!要有图和解!

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【典型例题】

  例3. 如图,在Rt△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝90°,∠1＝∠2,CE⊥BD交BD的延长线于E,证明：BD＝2CE.

       分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题,可构造线段2CE,转化为证两线段相等的问题,分别延长BA,CE交于F,证△BEF≌△BEC,得,再证△ABD≌△ACF,得BD＝CF.

       证明：分别延长BA、CE交于点F

       ∵BE⊥CF

       ∴∠BEF＝∠BEC＝90°

       在△BEF和△BEC中

       ∴△BEF≌△BEC（ASA）

       ∵∠BAC＝90°,BE⊥CF

       ∴∠BAC＝∠CAF＝90°,∠1＋∠BDA＝90°,∠1＋∠BFC＝90°

       ∴∠BDA＝∠BFC

       在△ABD和△ACF中

       ∴△ABD≌△ACF（AAS）

       ∴BD＝CF

       ∴BD＝2CE

（三）加倍法和折半法

       证明一条线段是另一条线段的两倍,常用如下方法：将较短线段延长一倍,然后证明它和较长线段相等,或将较长线段折半,然后证明它和较短线段相等,这种方法称为加倍法和折半法.

  例4. 已知：如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,AB＝DC,∠BAD＝∠BDA.

       求证：AC＝2AE

       分析：欲证AC＝2AE,只要取AC的中点,证其一半与AE相等,或延长AE至等长,证其与AC相等,由于AE是△ABD的中线,故考虑延长AE至F,使EF＝AE,证AF＝AC.（此种方法我们又称为中线倍长法）

       只要证△ABF≌△ADC,观察图形发现,可以证明△ADE≌△FBE,则可得出BF＝AD,尚需条件∠ADC＝∠FBA,而这可由外角的性质推出.

       证明：延长AE至F,使EF＝AE,连结BF

       ∵AE是△ABD的中线

       ∴BE＝ED

       在△BEF和△DEA中

       ∴△BEF≌△DEA

       ∴∠EBF＝∠BDA,BF＝DA

       ∵∠BAD＝∠BDA

       ∴∠EBF＝∠BAD

       在△ADC和△FBA中

       ∴△ADC≌△FBA

       ∴AC＝AF

       又∵AF＝2AE

       ∴AC＝2AE

（四）利用角平分线的性质来添加辅助线

       有角平分线（或证明是角平分线）时,常过角平分线上的点向角两边作垂线段,利用角平分线上的点到角两边的距离相等证题.

  例5. 已知：△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点P.

       求证：AP平分∠BAC

       证明：过P点作PD⊥AC于D点,PF⊥AB于F点,PE⊥BC于E点

       ∵PC,BP为△ABC的∠B、∠C的外角平分线

       PD⊥AC,PE⊥BC

       ∴PD＝PE（角平分线性质）

       同理：PF＝PE

       ∴PD＝PF（等量代换）

       ∴AP平分∠BAC（角平分线性质逆定理）

  例6. 已知：如图,∠1＝∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于D,AB＋BC＝2BD.

       求证：∠BAP＋∠BCP＝180°

       分析：要证∠BAP＋∠BCP＝180°,而由图可知∠BAP＋∠EAP＝180°,故只要证∠EAP＝∠BCP即可.由∠1＝∠2,PD⊥BC,想到过P点向BA作垂线PE,有PE＝PD,BE＝BD,又由,得AE＝CD,故△APE≌△CPD,从而有∠EAP＝∠BCP,问题得证.

       证明：过点P作PE⊥BA于E

       ∵PD⊥BC,∠1＝∠2

       ∴PE＝PD（角平分线的性质）

       在Rt△BPE和Rt△BPD中

       ∴Rt△BPE≌Rt△BPD（HL）

       ∴BE＝BD

       ∴∠PEB＝∠PDC＝90°

       在△PEA和△PDC中

       ∴△PEA≌△PDC

       ∴∠PCB＝∠EAP

       ∵∠BAP＋∠EAP＝180°

       ∴∠BAP＋∠BCP＝180°