p是直角三角形斜边ab的中点,m,n分别是边ac,bc上的点,且pm垂直于pn,求证（mn）^2=（am）^2+（bn）^2大家凑活着先看吧,如果看不懂就向我反应一下,我去画图,时间紧没画图,尽量看吧应该能看懂

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/18 00:26:29

p是直角三角形斜边ab的中点,m,n分别是边ac,bc上的点,且pm垂直于pn,求证（mn）^2=（am）^2+（bn）^2大家凑活着先看吧,如果看不懂就向我反应一下,我去画图,时间紧没画图,尽量看吧应该能看懂
p是直角三角形斜边ab的中点,m,n分别是边ac,bc上的点,且pm垂直于pn,求证（mn）^2=（am）^2+（bn）^2
大家凑活着先看吧,如果看不懂就向我反应一下,我去画图,时间紧没画图,尽量看吧应该能看懂

p是直角三角形斜边ab的中点,m,n分别是边ac,bc上的点,且pm垂直于pn,求证（mn）^2=（am）^2+（bn）^2大家凑活着先看吧,如果看不懂就向我反应一下,我去画图,时间紧没画图,尽量看吧应该能看懂
正确答案请参考此图片

m,n是ac,bc中点那么am=mc,cn=bn
在直角三角形mnc中(mn)^2=(mc)^2+(cn)^2
即(mn)^2=(am)^2+(bn)^2

先证AMNP和MNBP是平行四边行
然后MP=NB,AM=PN
又因为MP^2+NP^2=MN^2
所以mn）^2=（am）^2+（bn）^2

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凭什么"pm垂直于pn",就可以得出"mn是ac,bc中点","AMNP和MNBP是平行四边形","m为ac中点，n为bc中点"???
以C为原点,CB为x轴正方向,CA为y轴正方向,建立平面直角坐标系
设B(2,0),A(0,2a)
则P(1,a)
PM垂直于PN
设PM斜率为K1,PN为K2,则K1K2=-1(K1或K2不存在时楼上有数人已证....)
解得M(0,a-K2),N(-a/K1+1,0)
则MN²=(-a/K1+1)²+(a-K2)²
BN²+AM²=(a/K1+1)²+(a+K2)²
BN²+AM²-MN²=4(a/K1+aK2)
因为K1K2=-1
所以原式=0
即MN²=BN²+AM²

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此题并不难啊，我没作图，简单给你分析一下，求证mn的平方=am平方+bn平方不就是证明mp平方+np平方=am平方+bn平方吗。也等于cn平方+cm平方。会了吗。

mp垂直pn且p是斜边中点,故m、n为两直角边中点,故mpnc为矩形,故mn//=ap,mp//=nb,am//=pn,直角三角形amp或pnb;所以由勾股定理得证,我手机写的,凑合着看吧,应该能看懂.

p为ab中点，且pm与pn垂直。可证m为ac中点，n为bc中点。由此可的：am=pn，bn=pm。而pmn为直角三角形，故：（mn）2=（pn）2+（pm）2.由此可的：（mn）2=（am）2+（bn）2

过点P作PE垂直AC，垂足是E，作PF垂直BC，垂足是F
PE，PF是三角形ABC的中位线
PE=FC=FB,PF=EC=EA
直角三角形PMN，直角三角形PME，直角三角形PNF，由勾股定理得
MN²=PM²+PN²
PM²=PE²+EM²
PN²=PF²+FN&sup...

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我的方法比楼上那群说MN是中点的强多了.\---------我感觉上楼的那位高手的解法比我的复杂诶-----------
楼主可以参考一下,有更聪明的高手来更好.
作PH垂直AC于H,作PI垂直BC于I
因为角HPI=90度,并且角MPN也是90度,所以角MPH=角NPI
又因为角PHM=角PNI=90度,所以三角形PMH相似于三角形PNI.
所以 MH比PH=NI比PI
分母同时扩大两倍,有
MH比BC=NI比AC
然后,
乘开,有,
MH*AC=NI*BC
继续,有
2MH*AC=2NI*BC(两边乘了二,接下来好理解)
再有, (CM-AM)*AC=(BN-CN)*AC
这一步最难理解...楼主想想吧.就是两线段相减,出来个两倍的MH,和两倍的NI
然后有,
(后面就最关键啦)
(CM-AM)(CM+AM)=(BN-CN)(BN+AN)
得出
CM^2-AM^2=BN^2-AN^2平方差公式呗
最后有
CM^2+AN^2=BN^2+AM^2 移项呗
又因为左边=MN^2,所以得证

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m,n是ac,bc中点那么am=mc,cn=bn
在直角三角形mnc中(mn)^2=(mc)^2+(cn)^2
即(mn)^2=(am)^2+(bn)^2 huhu

倒！
那不是直角三角形嘛！
你看看，三角形abc是直角三角形，mp垂直np，所以三角形mnp是以角mpn为直角的三角形，根据勾股定理，斜边的平方=两直角边的平方和，不就···

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上面认为mn都是中点，全部错了。
解法：
做pm1垂直ac，pn1垂直bc。
二种情况：
1）m，m1重合，n，n1重合，很简单。
2）不重合，也是两种情况
易知m1,n1都是ac，bc的中点。am1＝pn1，bn1＝pm1
易知pnn1和pmm1相似，pm1/mm=pn1/nn1.
a）m在am1上，则mn^2-am^2-bn^2=pn1^2+nn1^2+pm1^2+mm1^2-am12+bn12+mn12+nn12+2pn1*nn1-2am1*mm1=0
所以，mn^2＝am^2＋bn^2
b）m在cm1上，同理可知mn^2＝am^2＋bn^2
综上所述，mn^2＝am^2＋bn^2。

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用下余弦定理，再过点P作PE垂直AC，垂足是E，作PF垂直BC，垂足是F，PMN∽PEF即可正出

P是直角三角形斜边AB的中点，M,N分别是边AC，BC上的点，且PM垂直于PN，求证MN^2=AM^2+BN^2
做点N关于点P的对称点S
AP＝PB
NP＝PS
角NPB＝角APS
所以三角形ASP全等三角形NBP
AS＝NB
MP垂直NP
所以MP垂直NS
NP＝PS
所以MP是NS垂直平分线
MN＝MS...

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P是直角三角形斜边AB的中点，M,N分别是边AC，BC上的点，且PM垂直于PN，求证MN^2=AM^2+BN^2
做点N关于点P的对称点S
AP＝PB
NP＝PS
角NPB＝角APS
所以三角形ASP全等三角形NBP
AS＝NB
MP垂直NP
所以MP垂直NS
NP＝PS
所以MP是NS垂直平分线
MN＝MS
角SAC＝角SAP＋角CAB＝角ABC＋角CAB＝90度
MA^2+AS^2=MS^2
NB=AS
MS＝MN
所以MN^2=AM^2+BN^2

收起

..............................................................................................................................

我也不会

我不是数学高手阿。
可是这个题我都会。

看不懂

延长MP一倍至Q，联结QB,NQ
因为P为AB中点，可得三角形AMP与三角形BQP全等
得AM等于BQ，PM等于PQ
因为角MPN为直角，得三角形MNP与三角形QNP全等
得MN等于NQ
等量代换得NBQ为直角
因BN^2 +BQ^2 =NQ^2
故AM^2 +BN^2 =MN^2

你们从哪儿得出m，n是中点的？还真有神仙

太简单了
我不写过程了，思路给你
p为ab中点，且pm与pn垂直。可证m为ac中点，n为bc中点。由此可的：am=pn，bn=pm。而pmn为直角三角形，故：（mn）2=（pn）2+（pm）2.由此可的：（mn）2=（am）2+（bn）2

其实这是一道典型的看到中点添加辅助延长线题,很多中点题都会用到.延长np至D,使np=pD
因为np=pD又Bp=Ap,所以Bn=AD且Bn平行与AD
又易证得三角形pmn全等于三角形pmD所以mn=mD
因为Bn平行与AD,所以DA垂直于Am
所以在直角三角形中AD^2+Am^2=Dm^2
所以（mn）^2=（Am）^2+（Bn）^2...

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收起

m.n是中点？？？？？？？？？
菜！！！！！！~~~

PN是中点

由题得
C=90 MPN=90
所以MPA=CBP
又因为P为AB 中点
所以MPA和NBP全等
所以AM=PN PM= BN
有因为MN^=PM^+PN^
所以原式成立

难

证明：延长线段MP，在射线MP上截取M1P=MP
连结M1B
∵P是直角三角形斜边AB的中点
∴AP=BP
在△AMP与△BM1P中：
AP=BP，∠APM=∠M1PB，MP=M1P
∴△AMP≌△BM1P（S.A.S.）
∴AM=BM1，∠A=∠ABM1

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证明：延长线段MP，在射线MP上截取M1P=MP
连结M1B
∵P是直角三角形斜边AB的中点
∴AP=BP
在△AMP与△BM1P中：
AP=BP，∠APM=∠M1PB，MP=M1P
∴△AMP≌△BM1P（S.A.S.）
∴AM=BM1，∠A=∠ABM1
∴AC//M1B
∴∠M1BC=∠ACB=90°
∴AM＾2+BN＾2=BM1＾2+BN＾2=M1N＾2
∵PM┻PN，PM=PM1
∴MN=M1N
∴MN＾2=M1N＾2
∴MN＾2=AM＾2+BN＾2

收起

过点P作PE垂直AC，垂足是E，作PF垂直BC，垂足是F
PE，PF是三角形ABC的中位线
PE=FC=FB,PF=EC=EA
直角三角形PMN，直角三角形PME，直角三角形PNF，由勾股定理得
MN²=PM²+PN²
PM²=PE²+EM²
PN²=PF²+...

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过点P作PE垂直AC，垂足是E，作PF垂直BC，垂足是F
PE，PF是三角形ABC的中位线
PE=FC=FB,PF=EC=EA
直角三角形PMN，直角三角形PME，直角三角形PNF，由勾股定理得
MN²=PM²+PN²
PM²=PE²+EM²
PN²=PF²+FN²
所以MN²=PE²+EM²+PF²+FN²
AM²+BN²
=(AE+EM)²+(BF-FN)²
=(PF+EM)²+(PE-FN)²
=(PF²+EM²+PE²+FN²)+2(PF*EM-PE*FN)
因为角MPN=90，角EPF＝90
所以角EPM=角FPN，又角PEM=角PFN
所以三角形PEM与三角形PFN
所以PE/EM=PF/FN
PE*FN-PF*EM＝0
所以AM²+BN²==(PF²+EM²+PE²+FN²)+2(PF*EM-PE*FN)=PF²+EM²+PE²+FN²=MN²
延长MP一倍至Q，联结QB,NQ
因为P为AB中点，可得三角形AMP与三角形BQP全等
得AM等于BQ，PM等于PQ
因为角MPN为直角，得三角形MNP与三角形QNP全等
得MN等于NQ
等量代换得NBQ为直角
因BN^2 +BQ^2 =NQ^2
故AM^2 +BN^2 =MN^2

收起

我看了前面几个都有错，m n 怎么会是中点，又没说
答案前面的有了，我就不多说了。

(mn)^2=(am)^2+(bn)^2

yuwe2008 right

^是什么
我画了一下草图，你上我家来拿吧

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先证AMNP和MNBP是平行四边行
然后MP=NB,AM=PN
又因为MP^2+NP^2=MN^2
所以mn）^2=（am）^2+（bn）^2或是
P是直角三角形斜边AB的中点，M,N分别是边AC，BC上的点，且PM垂直于PN，求证MN^2=AM^2+BN^2
做点N关于点P的对称点S
AP＝PB
NP＝PS
角NPB＝角APS
所以三角形ASP全等三角形NBP
AS＝NB
MP垂直NP
所以MP垂直NS
NP＝PS
所以MP是NS垂直平分线
MN＝MS
角SAC＝角SAP＋角CAB＝角ABC＋角CAB＝90度
MA^2+AS^2=MS^2
NB=AS
MS＝MN
所以MN^2=AM^2+BN^2
要多看书上的题加强基础哦还要看些奥赛题才能和别人来开差距

收起

p为ab中点，且pm与pn垂直
可证m为中点，n为中点
由此可的：am=pn，bn=pm
而pmn为直角三角xing
故：（mn）2=（pn）2+（pm）2.
：（mn）2=（am）2+（bn）2
或可用长度代表距离 ac=a bc=b ab=c
mn=c/2 am=a-x bn=b-x
代入：（mn）2...

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p为ab中点，且pm与pn垂直
可证m为中点，n为中点
由此可的：am=pn，bn=pm
而pmn为直角三角xing
故：（mn）2=（pn）2+（pm）2.
：（mn）2=（am）2+（bn）2
或可用长度代表距离 ac=a bc=b ab=c
mn=c/2 am=a-x bn=b-x
代入：（mn）2=（am）2+（bn）2
与a的平方 +b的平方= c的平方
消元即可

收起

直角三角形PMN，直角三角形PME，直角三角形PNF，由勾股定理得
MN²=PM²+PN²
PM²=PE²+EM²
PN²=PF²+FN²
所以MN²=PE²+EM²+PF²+FN²
AM²+BN&s...

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直角三角形PMN，直角三角形PME，直角三角形PNF，由勾股定理得
MN²=PM²+PN²
PM²=PE²+EM²
PN²=PF²+FN²
所以MN²=PE²+EM²+PF²+FN²
AM²+BN²
=(AE+EM)²+(BF-FN)²
=(PF+EM)²+(PE-FN)²
=(PF²+EM²+PE²+FN²)+2(PF*EM-PE*FN)
因为角MPN=90，角EPF＝90
所以角EPM=角FPN，又角PEM=角PFN
所以三角形PEM与三角形PFN
所以PE/EM=PF/FN
PE*FN-PF*EM＝0
所以AM²+BN²==(PF²+EM²+PE²+FN²)+2(PF*EM-PE*FN)=PF²+EM²+PE²+FN²=MN²
延长MP一倍至Q，联结QB,NQ
因为P为AB中点，可得三角形AMP与三角形BQP全等
得AM等于BQ，PM等于PQ
因为角MPN为直角，得三角形MNP与三角形QNP全等
得MN等于NQ
等量代换得NBQ为直角
因BN^2 +BQ^2 =NQ^2
故AM^2 +BN^2 =MN^2

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m.n是中点？？？？？？？？？

延长np至D,使np=pD
因为np=pD又Bp=Ap,所以Bn=AD且Bn平行与AD
又易证得三角形pmn全等于三角形pmD所以mn=mD
因为Bn平行与AD,所以DA垂直于Am
所以在直角三角形中AD^2+Am^2=Dm^2
所以（mn）^2=（Am）^2+（Bn）^2

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原题：p是直角三角形斜边ab的中点，m，n分别是边ac，bc上的点，且pm垂直于pn,
求证（mn）^2=（am）^2+（bn）^2
证明：
∵P是AB上的中点，
∴AP＝PB；
∵PN垂直于PM，且∠C为△ABC的直角，
∴PN平行于AC，PM平行于BC，∠PBN=∠APM且∠BPN=∠PAM
∴△BPN全等于△PAM
同理可以知道，△PMN全等于△CMN，
于是AM=MC;BN=NC－－－（1）
在△NMC中，根据勾股定律，MN²=MC²+NC²
代入上列（1）式，可以得到MN²=AM²+BN²
证毕

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So eazy

有无数个mn,中点只是一个特殊情况,此题是典型的延长线问题,等距延长mp或者延长np都可以.

以C为原点,CB为x轴正方向,CA为y轴正方向,建立平面直角坐标系
设B(2,0),A(0,2a)
则P(1,a)
PM垂直于PN
设PM斜率为K1,PN为K2,则K1K2=-1(K1或K2不存在时楼上有数人已证....)
解得M(0,a-K2),N(-a/K1+1,0)
则MN²=(-a/K1+1)²+(a-K2)&...

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证明:
延长MP至Q,使PQ=PM;连结BQ;连结NQ
∵PQ=PM,PB=PA,∠BPQ=∠APM
∴△BPQ≌△APM(S.A.S)
∴BQ=AM,∠QBP=∠MAP
∴BQ‖AM
又∵AC⊥BC
∴BQ⊥BC
∵PQ=PM,PN为公共边,∠MPN=90°
∴△NPQ≌△NPM(S.A.S)
∴QN=MN
...

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证明:
延长MP至Q,使PQ=PM;连结BQ;连结NQ
∵PQ=PM,PB=PA,∠BPQ=∠APM
∴△BPQ≌△APM(S.A.S)
∴BQ=AM,∠QBP=∠MAP
∴BQ‖AM
又∵AC⊥BC
∴BQ⊥BC
∵PQ=PM,PN为公共边,∠MPN=90°
∴△NPQ≌△NPM(S.A.S)
∴QN=MN
∵△BNQ为直角三角形
∴QN²=BQ²+BN²
即MN²=AM²+BN²

收起

先证AMNP和MNBP是平行四边行
然后MP=NB,AM=PN
又因为MP^2+NP^2=MN^2
所以mn）^2=（am）^2+（bn）^2

可能是：求证mn的平方=am平方+bn平方不就是证明mp平方+np平方=am平方+bn平方吗。也等于cn平方+cm平方
谢谢

先证AMNP和MNBP是平行四边行
然后MP=NB,AM=PN
又因为MP^2+NP^2=MN^2
所以mn）^2=（am）^2+（bn）^2

按照思路想，加油！

____“xjl0624”的解法简洁易懂，好！

那么一等奖的奖金是多少元

(mn)^2=(am)^2+(bn)^2 huhu

^2是指平方吗？……

这太简单了，没意思这么多人回答了

这个题目用向量做应该提别简单。以C为原点。我相信你应该会做的

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同意Yuwe2008 - 经理四级
初中知识易懂

MN^2=MC^2+NC^2,MNCP四点共圆，MN^2=MC^2+NC^2=（AC-AM）^2+（BC-BN）^2=AC^2+BC^2-2AM*AC-2BN*BC+AM^2+BN^2.AB是圆的切线，所以AP^2=AM*AC,BP^2=BN*BC.
MN^2=AC^2+BC^2-2AM*AC-2BN*BC+AM^2+BN^2=AB^2-2AP^2-2BP^2+AM^2+BN^2.
p是中点，AC^2=4AP^2=4BP^2,mn^2=am^2+bn^2

我也很想知道答案耶

不知怎么上传图片？
大家看好条件：m，n分别是边ac，bc上的点
不是中点

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做pm1垂直ac，pn1垂直bc。
二种情况：
1）m，m1重合，n，n1重合，很简单。
2）不重合，也是两种情况
易知m1,n1都是ac，bc的中点。am1＝pn1，bn1＝pm1
易知pnn1和pmm1相似，pm1/mm=pn1/nn1.
a）m在am1上，则mn^2-am^2-bn^2=pn1^2+nn1^2+pm1^2+mm1^2-am12+bn12+mn12+nn12+2pn1*nn1-2am1*mm1=0
所以，mn^2＝am^2＋bn^2
b）m在cm1上，同理可知mn^2＝am^2＋bn^2
mn^2＝am^2＋bn^2。

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呵呵，很简单啊!
PM垂直PN，所以：mn^2=pm^2+pn^2
再根据三角形中位线定理：pm=1/2*bc=bn , pn=1/2*ac=am
所以：mn^2=am^2+bn^2

证明：延长MP到Q，使QP=MP，连BP,QN。
∵PQ=PM,NP⊥QP
∴NQ=NM(三线和一）
∵P是AB的中点
∴AP=BP
∵PQ=PM,∠APM＝∠BPQ
∴△APM≌△BPQ
∴AM=BQ,∠A＝∠QBP
∵∠A+∠ABC=90
∴∠QBP+∠ABC=90
∴∠CBQ=90
...

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证明：延长MP到Q，使QP=MP，连BP,QN。
∵PQ=PM,NP⊥QP
∴NQ=NM(三线和一）
∵P是AB的中点
∴AP=BP
∵PQ=PM,∠APM＝∠BPQ
∴△APM≌△BPQ
∴AM=BQ,∠A＝∠QBP
∵∠A+∠ABC=90
∴∠QBP+∠ABC=90
∴∠CBQ=90
∴(BQ）^2+(BN）^2=(NQ）^2
∴（MN）^2=（AM）^2+（BN）^2

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利用余弦定理和P是中点的条件可以得到(PM)^2+(PN)^2=（am）^2+（bn）^2

看不懂，我才高一，别拿这么难的题目整我

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过点P作PE垂直AC，垂足是E，作PF垂直BC，垂足是F
PE，PF是三角形ABC的中位线
直角三角形PMN，直角三角形PME，直角三角形PNF，由勾股定理得
MN²=PM²+PN²
PM²=PE²+EM²
PN²=PF²+FN²
所以MN²...

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过点P作PE垂直AC，垂足是E，作PF垂直BC，垂足是F
PE，PF是三角形ABC的中位线
直角三角形PMN，直角三角形PME，直角三角形PNF，由勾股定理得
MN²=PM²+PN²
PM²=PE²+EM²
PN²=PF²+FN²
所以MN²=PE²+EM²+PF²+FN²
AM²+BN²
=(AE+EM)²+(BF-FN)²
=(PF+EM)²+(PE-FN)²
=(PF²+EM²+PE²+FN²)+2(PF*EM-PE*FN)
因为角MPN=90，角EPF＝90
所以角EPM=角FPN，又角PEM=角PFN
所以三角形PEM与三角形PFN
所以PE/EM=PF/FN
PE*FN-PF*EM＝0
所以AM²+BN²==(PF²+EM²+PE²+FN²)+2(PF*EM-PE*FN)=PF²+EM²+PE²+FN²=MN²

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这个很容易啊！ pm垂直于pn 着三角形中PNM是直三角形，
则PM^2+PN^2=MN^2 (勾股定律)
PNM分别是中点，
则 AM平行且等于PN BN平行且等于PM
带入得答案：（mn）^2=（am）^2+（bn）^2

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我来介绍一种代数方法吧!
解:以C为原点,以向量CA的方向为x的正方向,CB的方向为y的正方向建平面坐标系,并设点A,B,M,N的坐标分别为(0,a),(b,0),(0,m),(n,0).则P为(b/2,a/2).(0|MN|^2=m^2+n^2
|AM|^2=(a-m)^2
|BN|^2=(b-n)^2
向量PM=(b/2,a/2-m)
向量PN=(b/2-n,a/2)
因为PM垂直PN
所以 (向量PM)(向量PN)=(b/2)(b/2-n)+(a/2-m)(a/2)=0
即a^2+b^2-2am-2bn=0
所以 |AM|^2+|BN|^2=(a-m)^2+(b-n)^2=m^2+n^2+a^2+b^2-2am-2bn=m^2+n^2=|MN|^2
即 |MN|^2=|AM|^2+|BN|^2

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逆向推理。。
假设mn^2=（am）^2+（bn）^2 成立
。。。

先证AMNP和MNBP是平行四边行
然后MP=NB,AM=PN
又因为MP^2+NP^2=MN^2
所以mn）^2=（am）^2+（bn）^2
PN是中点
其实这是一道典型的看到中点添加辅助延长线题,很多中点题都会用到.延长np至D,使np=pD
因为np=pD又Bp=Ap,所以Bn=AD且Bn平行与AD
又易证得三角形pmn全等于...

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证明：因为点P平分AB，
所以PA=PB
作CP垂直于AB
所以角CPA=角CPB=90度，角CAB=角CBA（三线合一）
所以三角形CPA全等于三角形CPB（S.A.S.)
即CA=CB
作垂线PM，PN
得角PMA=角PNB
所以三角形...

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证明：因为点P平分AB，
所以PA=PB
作CP垂直于AB
所以角CPA=角CPB=90度，角CAB=角CBA（三线合一）
所以三角形CPA全等于三角形CPB（S.A.S.)
即CA=CB
作垂线PM，PN
得角PMA=角PNB
所以三角形PMA全等于三角形PNB
所以MA=MB
因为CA=CB，MA=NB
所以CM=CN（等量代换）
因为三角形ABC是直角三角形
所以（AC）^2+（BC）^2=（AB）^2