已知正整数n的十进制表示中,每个数字都能整除n（数字0没出现）,试问：在n的十进制表示中最多会出现几个不同的数字?已知答案是6478319232

已知正整数n的十进制表示中,每个数字都能整除n（数字0没出现）,试问：在n的十进制表示中最多会出现几个不同的数字?已知答案是6478319232
已知正整数n的十进制表示中,每个数字都能整除n（数字0没出现）,试问：在n的十进制表示中最多会出现几个不同的数字?
已知答案是6478319232

已知正整数n的十进制表示中,每个数字都能整除n（数字0没出现）,试问：在n的十进制表示中最多会出现几个不同的数字?已知答案是6478319232
其实答案不止这一种,要点的是除了0和5都会出现.
0不出现是题目要求.
而若出现5,则n被5整除,个位只能是5(0被排除了).
于是n是奇数,不能被2,4,6,8整除,此时出现的数字最多有1,3,5,7,9这5种.
所以考虑排除5,尝试让剩下的数字都出现,这样会有8种.
剩下的数字可分为4组:
① 1:n无论何时都能被1整除.
② 2,4,8:只要n能被8整除,就能被2,4整除.
此外n被8整除当且仅当其后3位能被8整除.
③ 3,6,9:在n被8整除的条件下,只要n又能被9整除,就能被3,6整除.
n被9整除当且仅当其数字和被9整除.
④ 7:与其余数字没有关联,需要单独判定.
综合起来,就整除这一点来说,只需要n被7,8,9整除即可.
当然,此外还需要相应数字在n中出现.
首先选择n的后3位,使其能被8整除.
这个基本上随便选,只是不要出现0和5.
例如可选为248.
再来选更高位的数字.
因为被9整除的条件是与数字总和相关的,可以放到之后调整.
而被7整除的条件也难以确定,所以我们不妨优先考虑使所有数字都出现.
取后8位为13679248.
13679248除以7余2.
100000000除以7余2.
于是613679248 = 6·100000000+13679248与6·2+2 = 14除以7的余数相同,即被7整除.
不妨取后9位为613679248.
613679248的数字和为46,除以9余1.
考虑在前面加上若干位的7,这样可以保持其被7整除,同时让数字和改变.
5·7+46 = 81被9整除,因此77777613679248被9整除.
可验证n = 77777613679248满足要求.
总结起来构造的过程就是:
(由后3位)保证被8整除,保证各数字出现,保证被7整除,(在保持被7整除的前提下)保证被9整除.
其实每一步的随意性都很大.

我算了一遍，没有把你给出的结果算出来。
不过用你的结果可以得出以下结论：
至多出现8个数，并且在出现8个不同的数字里，n的十进位的位数最小是10位。
下面是我的证明：
既然要最多，首先考虑9个都出现：
如果9个都出现，那么5|n,这表明n是一个奇数(因为若是偶数则必出现0),又2|n。矛盾.
令n=[a1a2...as](即n的十进制表示,1<=ai...

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我算了一遍，没有把你给出的结果算出来。
不过用你的结果可以得出以下结论：
至多出现8个数，并且在出现8个不同的数字里，n的十进位的位数最小是10位。
下面是我的证明：
既然要最多，首先考虑9个都出现：
如果9个都出现，那么5|n,这表明n是一个奇数(因为若是偶数则必出现0),又2|n。矛盾.
令n=[a1a2...as](即n的十进制表示,1<=ai<=9)。
此时考虑以下两种情况：
如果5出现，2不出现，则n是奇数,那么4，6，8，都不可能出现，显然，此时出现的数至多有1,3,5,7,9这4个数。。
如果2出现，5不出现。
此时出现的数至多有1,2,3,4,6,7,8,9这8个数。
因此我们来看看8个数是否可能：
如果s=8那么必然有ai!=aj(i!=j)。
又9|n,所以9|(a1+...+as=40)矛盾。
如果s=9。必然有一个数出现2次，不妨记为a1.则
9|(a1+a2+...as=40+a1)
得出a1=5。矛盾.
如果s=10，则有两种情况
1:有两个数分别出现1次。
2.1个数出现3次。
考虑情况1：
不妨设为a1.a2
9|(a1+...+as=40+a1+a2)
得到ai+aj=5或ai+aj=14.
因此可能的数对有(1,4),(2,3),(6,8)
考虑情况2：
不妨设为ai
9|(a1+...+as=40+2ai)
得到ai有唯一解ai=7。
至此我们得出满足上述条件的数都能被1,2,3,4,6,8,9整除。
此时我们考虑能被7整除的数n应该有什么样的性质。
能被7整除的数n满足：
(a10-a7+a4-a1)+3(a9-a6+a3)+2(a8-a5+a2)=0 mod 7
又8|n
有4a10+2a9+a8=0 mod 8
9|N
有a1+...+a10=0 mod 9
所以问题变为求出：
上面3个同余方程，在情况1或2下,2|a10，1<=ai<=9，且ai!=5。时有解.
到这里我不知道该怎么分析了，或许要用计算机吧，
又或许不要(我个人凭直觉认为上面的解的个数应该不止一个，不过我没有用计算机证明。。。。).
不过你给的结果6478319232就证明了情况1的存在性，所以我的结论是对的。
就你要的结果的话应该没什么问题了。
我只能到这里了。。。。

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