已知函数f(x)=x-1-alnx,求证,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/30 21:24:29
已知函数f(x)=x-1-alnx,求证,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
已知函数f(x)=x-1-alnx,求证,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
已知函数f(x)=x-1-alnx,求证,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
①充分性
当a=1时,f(x)=x-1-lnx,f'(x)=1-1 x =x-1 x∴当x>1时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,
当0<x<1时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上是减函数,
∴f(x)≥f(1)=0
②必要性
f'(x)=1-a x =x-a x ,其中x>0
(i)当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数
而f(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,与f(x)≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意.
(ii)当a>0时,∵x>a时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(a,+∞)上是增函数;
0<x<a时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,a)上是减函数;
∴f(x)≥f(a)=a-a-alna
∵f(1)=0,所以当a≠1时,f(a)<f(1)=0,此时与f(x)≥0恒成立相矛盾
∴a=1
综上所述,f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1;
对f(x)求导,可得f‘(x)=1-a/x
可知,当x=a时可取最小值(可有f’(x)的取值变化得知)。
所以f(a)最小值为a-1-alna,只要最小值≥0恒成立,那么f(x)≥0恒成立。
再由f(a)对a求导,则有f‘(a)=-lna,所以a=1时又可取最小值,f(a)最小值为0.
所以,可知f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1....
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对f(x)求导,可得f‘(x)=1-a/x
可知,当x=a时可取最小值(可有f’(x)的取值变化得知)。
所以f(a)最小值为a-1-alna,只要最小值≥0恒成立,那么f(x)≥0恒成立。
再由f(a)对a求导,则有f‘(a)=-lna,所以a=1时又可取最小值,f(a)最小值为0.
所以,可知f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1.
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求导,然后求出函数的最小值,使得最小值大于等于0的a的取值即可。不难吧?