斐波那契数列：1、2、3、5、、、分别除以数N（N>=5),得到的余数排成新数列,请问:对于不同的N,新数列是否一定会出现循环呢?一个N对应一个新数列

斐波那契数列：1、2、3、5、、、分别除以数N（N>=5),得到的余数排成新数列,请问:对于不同的N,新数列是否一定会出现循环呢?一个N对应一个新数列
斐波那契数列：1、2、3、5、、、分别除以数N（N>=5),得到的余数排成新数列,请问:
对于不同的N,新数列是否一定会出现循环呢?
一个N对应一个新数列

斐波那契数列：1、2、3、5、、、分别除以数N（N>=5),得到的余数排成新数列,请问:对于不同的N,新数列是否一定会出现循环呢?一个N对应一个新数列
结论：必然会出现循环
这是基于下面事实：
1． R(n+2)=F(n+2) mod P=(F(n+1)+F(n)) mod P=(F(n+1) mod p +F(n) modp) mod p
2． 斐波那契数列的最大公约数定理：gcd(F(m),F(n))=F(gcd(m,n))
最大公约数定理表明如果F(k)能被N整除,则F(ik)也能被N整除,这就表明了斐波那契数列所含因子的周期性,下面列举：
因子：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
周期：3,4,6,5,12,8,6,12,15,10,12
我们称所生成的序列为剩余序列,那么一旦出现某个F(k) 能被N整除（这需证明我的一个猜想：对于任意素数P,F（P）,F（P-1）和F（P+1）三个中定有一个能被P整除）,以后F(ik)都能被N整除,亦即剩余序列周期地出现0,下一个剩余序列值为N-1种可能,总会重复,有两个相邻的重复该序列就一定重复,亦即具有周期性.
这个周期叫做皮萨诺周期
The sequence of Fibonacci numbers is periodic modulo any modulus (Wall 1960).These periods are known as Pisano periods (Wrench 1969).The Fibonacci numbers modulo for small are tabulated below,together with their Pisano periods.
Sloane (mod )
2 3 A011655
1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...
3 8 A082115
1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,...
4 6 A079343
1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1,2,...
5 20 A082116
1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,...
6 24 A082117
1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,...
7 16 A082116
1,1,2,3,5,1,6,0,6,6,5,4,2,6,1,...
8 12 A079344
1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,1,2,...

可以这么推吗？研究一下，请爱小思补充思路

对于取定的整数N，余数只有N中可能：0，1，2……N-1
那么连续两个余数的不同配对可能性有(N-1)*（N-1)种，有限。
设余数组成的数列第n项为A(n).
我们不妨把这个数列每两项分为1组，第m组我们称之为B(m),那么B(m)就是由A(2m-1)和A(2m)组成。
于是B(m)的两个数字的组合的可能性就只有(N-1)*（N-1)种
那么，只要取的数列...

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对于取定的整数N，余数只有N中可能：0，1，2……N-1
那么连续两个余数的不同配对可能性有(N-1)*（N-1)种，有限。
设余数组成的数列第n项为A(n).
我们不妨把这个数列每两项分为1组，第m组我们称之为B(m),那么B(m)就是由A(2m-1)和A(2m)组成。
于是B(m)的两个数字的组合的可能性就只有(N-1)*（N-1)种
那么，只要取的数列足够长，必然会出现一组，与前面的某一组是一样的，
即出现B(i)和B(j),使A(2i-1)=A(2j-1),A(2i)=A(2j)，其中j>i.
于是从B(j)开始，后面与B(i)后面重复，形成循环
结论：必然会出现循环
重点有2个：
1、假设法。既然结论非此即彼，不妨先假设为更可能是错误的一个，看是否有矛盾。此法需要一定数学直觉，不然假设反了推不出矛盾就浪费时间了。
2、以无限对应有限。构造的“数（组）列” B 可以无限延续，而可以取的B(m)确是有限的，于是必然重复。

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会

会

不会 你如果取N很大的话 那么新数列就是斐波那契数列本身 显然是不循环的