设△ABC的三内角A,B,C,求证x2+y2+z2≥2yzcosA+2xzcosB+2xycosCx2表示x的平方,其他也一样
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/04 17:09:21
设△ABC的三内角A,B,C,求证x2+y2+z2≥2yzcosA+2xzcosB+2xycosCx2表示x的平方,其他也一样
设△ABC的三内角A,B,C,求证x2+y2+z2≥2yzcosA+2xzcosB+2xycosC
x2表示x的平方,其他也一样
设△ABC的三内角A,B,C,求证x2+y2+z2≥2yzcosA+2xzcosB+2xycosCx2表示x的平方,其他也一样
真快啊楼上,打这么多字就用了这么几秒...-_-##
楼主 你看懂了没?
我帮你翻译一下
若 x^2+y^2+z^2≥2yzcosA+2xzcosB+2xycosC
则 z^2 -(2ycosA + 2xcosB)z +x^2+y^2-2xycosC≥0
上式为关于z的一元二次不等式
令 f(z)=z^2 -(2ycosA + 2xcosB)z +x^2+y^2-2xycosC
若f(z)≥0,则只需证明△≤0
△=(2ycosA+2xcosB)^2-4(x^2+y^2 -2xycosC)
=4(-(ysinA)^2 -(xsinB)^2 -2xycosAcosB -2xy(cosAcosB-sinAsinB))
= -4(ysinA -xsinB)^2≤0 成立
因此命题得证.
但是这只是答题思路,通常这种题这样回答是得不到满分的,因为一定要有“若要”“则”“那么”“必须”这样的语句一步一步地做解释,很容易就把自己陷进去而丢分.
这种题目一般的回答方式是,在草纸上把以上过程做出来,然后在答卷上逆推即可.
举个例子
∵-4(ysinA -xsinB)^2≤0
∴4(-(ysinA)^2 -(xsinB)^2 -2xycosAcosB -2xy(cosAcosB-sinAsinB))≤0
∴(2ycosA+2xcosB)^2-4(x^2+y^2 -2xycosC)≤0
∴对于z^2 -(2ycosA + 2xcosB)z +x^2+y^2-2xycosC 可知△≤0
∴z^2 -(2ycosA + 2xcosB)z +x^2+y^2-2xycosC≥0
整理得x2+y2+z2≥2yzcosA+2xzcosB+2xycosC
证毕.
z^2 -(2ycosA + 2xcosB)z +x^2+y^2-2xycosC>=0
这是个关于z的二次函数,现在只需要证明它的判别式<=0,那么就可以证明这个
二次式是>=0的。
判别式是
(2ycosA+2xcosB)^2 -4(x^2+y^2 -2xycosC)
这个式子=4( (ycosA)^2+(xcosB)^2 -2xycosAcosB...
全部展开
z^2 -(2ycosA + 2xcosB)z +x^2+y^2-2xycosC>=0
这是个关于z的二次函数,现在只需要证明它的判别式<=0,那么就可以证明这个
二次式是>=0的。
判别式是
(2ycosA+2xcosB)^2 -4(x^2+y^2 -2xycosC)
这个式子=4( (ycosA)^2+(xcosB)^2 -2xycosAcosB -x^2 -y^2 -2xycos(A+B) )
=4 ( -(ysinA)^2 -(xsinB)^2 -2xycosAcosB -2xy(cosAcosB-sinAsinB) )
= -4(ysinA -xsinB)^2<=0
从而命题得证
收起