证明:若A,B为n阶矩阵 则|AB|=|A||B|

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 15:26:44

证明:若A,B为n阶矩阵 则|AB|=|A||B|
证明:若A,B为n阶矩阵 则|AB|=|A||B|

证明:若A,B为n阶矩阵 则|AB|=|A||B|
这个只好用定义去证明了,思路不是很难,就是运算麻烦点.不太好打,如果你手边能找到线性代数的书就再好不过了.
简单来说,就是构造2n阶的矩阵D（这里用分块矩阵表示）
D =
|A 0|
|C B|
这是一个上三角矩阵,易得|D| = |A||B|
(A、B是原来的n阶阵,O代表全零的n阶矩阵,C代表对角线上元素全部是-1,其他元素全部是0的n阶对角矩阵)
下面证明|D| = |AB|
对矩阵D施行初等行变换（具体过程很繁琐,略去）变换成下面的形式D =
|A M|
|C 0|
其中0还是全零矩阵,矩阵M的元素M(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ...+ a(i,n)b(n,j),(易看出M实际上就是矩阵AB)
取D的第n + 1,n + 2,.,2n列,将行列式按块展开,
D = （-1）^(1+2+3+..+n) * |C| * |M|
（C是对角线全为-1的对角矩阵,其行列式的值易求得）
即有|D| = |AB|

证明:若A,B为n阶矩阵 则|AB|=|A||B| 证明：设A,B为n阶矩阵,若AB=BA,则A,B秩相同 矩阵证明若AB=BA 则·(AB)的n次方=A的n次方*B的n次方 AB均为平方矩阵已解决 设A为n阶方阵,B为N×S矩阵,且r(B)=n.证明若AB=0则A=0 设A为n阶可逆矩阵,B为n×m矩阵,证明:秩(AB)=秩(B) 设A为m*n矩阵,B为n阶矩阵,且R(A)=n,证明：（1）若AB=O,则B=O;(2)若AB=A,则B=E 设A,B为n阶方阵,E为n阶单位矩阵,证明：若A+B=AB,则A-E可逆. 若A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明：如果A,B都相似于对角矩阵,则存在可逆矩阵C使C^1AC与C^1BC均为对角矩阵 设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA. A,B为N阶反对称矩阵,则AB反对称,证明充要条件为AB=-BA A,B为n阶矩阵且A+B=E,证明AB=BA 线性代数求证n阶矩阵A,B满足AB=0,证明:若A的秩为r,则B的秩为n-r 设A是m*n阶矩阵,B为n*k阶矩阵,若AB=0,证明r(A)+r(B) A,B都为n阶正定矩阵,证明:AB是正定矩阵的充分必要条件是AB=BA. 设A B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵. 设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 大学线性代数:已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵.