你能证明吗?已知平面内的任意4点,其中任何3点都不在同一条直线上,.试问是否一定能从这4点中选出3点构成一个三角形,使得这个三角形至少有一个内角不大于45°?证明你的结论.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 20:52:38
你能证明吗?已知平面内的任意4点,其中任何3点都不在同一条直线上,.试问是否一定能从这4点中选出3点构成一个三角形,使得这个三角形至少有一个内角不大于45°?证明你的结论.
你能证明吗?已知平面内的任意4点,其中任何3点都不在同一条直线上,.试问是否一定能从这4点中选出3点构成一个三角形,使得这个三角形至少有一个内角不大于45°?证明你的结论.
你能证明吗?已知平面内的任意4点,其中任何3点都不在同一条直线上,.试问是否一定能从这4点中选出3点构成一个三角形,使得这个三角形至少有一个内角不大于45°?证明你的结论.
证明:
因为任何3点都不在同一条直线上,所以这4个点可以围成一个一个四边形,分别连接四边形的两个对角顶点,使四边形的四个内角被分成了8份,这8个角就是四个点所形成的所有三角形的内角.
因为四边形内六角之和等于360°,所以这8个角之和等于360°.
如果这8个内角都大于45°,则8个角之和必然大于45*8=360,这与8个角之和等于360矛盾,所以这8个内角中,至少有一个不大于45°.
反证法:假设存在这样4个点, 使得从这4点中任选出3点都构成一个三角形,且每个内角都大于45°。 由此 我们导出矛盾。
设这四个点为 A,B,C,D. 因为 任何3点都不在同一条直线上,所以 任何3点都形成三角形。而形成的必然是锐角三角形。(不然,则一个角 >= 90度,剩下的两个角中,必有一个角 <= (180-90)/2 = 45度。矛盾!)。
这4个点中 必然存在两点, 设...
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反证法:假设存在这样4个点, 使得从这4点中任选出3点都构成一个三角形,且每个内角都大于45°。 由此 我们导出矛盾。
设这四个点为 A,B,C,D. 因为 任何3点都不在同一条直线上,所以 任何3点都形成三角形。而形成的必然是锐角三角形。(不然,则一个角 >= 90度,剩下的两个角中,必有一个角 <= (180-90)/2 = 45度。矛盾!)。
这4个点中 必然存在两点, 设为A, C, 使得 B, D 两点分别在直线AC的两侧。而ACB 和 ACD 都必然是锐角三角形。 于是 ABD 是个三角形, 角 BAD = 角BAC + 角DAC < 90 + 90 = 180 度,
角 BAD = 角BAC + 角DAC > 45 + 45 = 90 度. 于是 三角形 ABD不是 锐角三角形。 这与前面得到的 “形成的必然是锐角三角形” 矛盾!
所以 一定能从这4点中选出3点构成一个三角形,使得这个三角形至少有一个内角不大于45°
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