作业帮已知直线l：y=x+b被曲线y=1/2x^2截得的弦长为4根号下2,求实数b的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 09:01:53
已知直线l：y=x+b被曲线y=1/2x^2截得的弦长为4根号下2,求实数b的值
已知直线l：y=x+b被曲线y=1/2x^2截得的弦长为4根号下2,求实数b的值
已知直线l：y=x+b被曲线y=1/2x^2截得的弦长为4根号下2,求实数b的值
假设直线与曲线相交的点为(x1,y1),(x2,y2),且令x1>x2
则y1=x1+b=0.5*x1^2
y2=x2+b=0.5*x2^2
那么y1-y2=(x1+b)-(x2+b)=x1-x2=0.5*(x1^2-x2^2)=0.5*(x1-x2)(x1+x2)……①
这样x1+x2=2……②
由于弦长为4倍根号2
所以(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=2*4^2=32
而①式中说明y1-y2=x1-x2
所以2*(x1-x2)^2=32即(x1-x2)^2=16……③
根据②、③式得出x1=3 x2=-1
把结果代入x2+b=0.5*x2^2得出b=1.5
设,截得的弦长的交点为A,B,令它们的坐标分别为A(X1,Y1),B(X2,Y2).
y=1/2x^2,y=x+b,
1/2x^2-x-b=0,
x^2-2x-2b=0,
X1+X2=2,
X1*X=-2b.
(x2-x1)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=(2)^2-4*(-2b)=4(1+2b).
而,K=(Y2-Y1...
全部展开
设,截得的弦长的交点为A,B,令它们的坐标分别为A(X1,Y1),B(X2,Y2).
y=1/2x^2,y=x+b,
1/2x^2-x-b=0,
x^2-2x-2b=0,
X1+X2=2,
X1*X=-2b.
(x2-x1)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=(2)^2-4*(-2b)=4(1+2b).
而,K=(Y2-Y1)/(X2-X1)=1,两边平方得,
(Y2-Y1)^2=K^2*(X2-X1)^2=(X2-X1)^2=4(1+2b).
又∵AB^2=(X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2,则有
(4√2)^2=2*4(1+2b).
b=3/2.
收起
将y=x+b代入y=1/2x^2得，1/2x^2=x+b,解得x1=1+√(2b+1)，x2=1-√(2b+1),将解代入直线方程，得y1=1+b+√(2b+1), y2=1+b-√(2b+1)+b，
根据距离公式有（y2-y1)^2+(x2-x1)^2=(4√2)^2，将上面各系数代入
解得，b=3/2