高二数学希望杯第二试试题及解答(10-16届的)

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高二数学希望杯第二试试题及解答(10-16届的)
你说的是10-16的届,我找的只有13届的高二数学希望杯第二试试题及解答.
第十三届“希望怀”全国数学邀请赛第2试试题(高二)
2002年4月21日 上午8：30至10：30
高中二年级 (适用新教材)
一.选择题（以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的）
1.设x,y满足 ,则 的取值范围是（ ）
A.〔 ,〕 B.〔 ,6〕
C.〔6,8〕 D.〔6,〕
2.方程 的实根分别为 ,则 等于（ ）
A.B.C.D.1
3.函数 的值域是（ ）
A.（ 〕 B.（ 〕
C.〔 ） D.〔 ）
4.四面体ABCD的各面都是锐角三角形,且 ,,.平面 分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S,则四边形PQRS的周长的最小值是（ ）
A.2a B.2b C.2c D.
5.从空间一点引三条不共面的射线,则以每条射线为棱的三个二面角的和的取值范围是（ ）
A.（ ） B.（ ）
C.（ ） D.（ ）
6.已知椭圆 上有三点 （ ,）（ 1,2,3）,它们到同一个焦点的距离分别是 ,,,则 ,,成等差数列的充要条件是（ ）
A.,,成等差数列
B.,,成等差数列
C.上述（A）、（B）同时成立
D.（A）、（B）以外的条件
7.若不等式 对所有正实数a,b都成立,则m的最小值是（ ）
A.2 B.C.D.4
8.不等式 的解集是（ ）
A.〔 〕
B.〔 ,〕
C.（ 〕 〔 ,〕
D.〔 ,〕
9.将3个半径为1的球和一个半径为 的球叠为两层放在桌面上,上层只放一个较小的球,四个球两两相切,那么上层小球的最高点到桌面的距离是（ ）
A.B.C.D.
10.Given two sequences 、 with positive terms,let be arithmetic with the common difference ,let be the length of the line segment cut by the parabola （ ）from the .Then （ ）
（英汉小字典：common difference 公差；parabola抛物线； ：轴）
A.B.C.D.
二.填空题
11.已知 是区间〔 ,2〕上的增函数,且 ,若 对所有的 〔 ,2〕和 〔 ,1〕恒成立,则实数m的取值范围是__________.
12.已知方程 在 上有两个根 ,则 _____.
13.设 分别是方程 在区间（0,）上的解,则它们的大小关系是________.
14.已知 均为锐角,且 ,则 的最大值等于_________.
15.已知定直线 上有三点A,B,C,,,.动圆O恒与 相切于点B,则过A、C且都与⊙O相切的直线 、 的交点P的轨迹是________.
16.复数z满足条件 ,则 的取值范围是_______.
17.抛物线系 在 平面上不经过的区域是________,其面积等于_________.
18.Given the function and .If there must exist at least one real number c such that .Then the range of p is ________.
19.在四面体ABCD中,面BAC、CAD、DAB都是以A为顶点的等腰直角三角形,且腰长为a.过D作截面DEF交面ABC于EF,若 ,且将四面体的体积二等分,则面DEF与面BCD的夹角等于________.
20.长为 （ ）的线段AB的两端在抛物线 上滑动,则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于________.
三.
21.从半径为1的圆铁片中去掉一个半径为1、圆心角为x的扇形,将余下的部分卷成无盖圆锥.
（1）用x表示圆锥的体积V；
（2）求V的最大值.
22.已知抛物线 的焦点为F,以点A（ ,0）为圆心,为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点.
（1）求证：点A在以M、N为焦点,且过F的椭圆上.
（2）设点P为MN的中点,是否存在这样的a,使得 的等差中项?如果存在,求a的值；如果不存在,说明理由.
23.用水清洗一堆水果上残存的农药,假定用1个单位的水可清洗掉水果上残存农药量的50%.用水越多,清洗越干净,但总还有极少量农药残存在水果上.设用x个单位的水清洗一次水果后,残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比记为函数 .
（1）请规定 的值,并说明其实际意义.
（2）写出 满足的条件和具有的性质.
（3）设 ,现有 个单位的水,可以清洗一次,也可以把水等分成2份后清洗两次,说明哪种方案能使水果上残存的农药量较少.