已知a,b∈R+,且x+y=1,求证:xy≤1/4

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 03:03:54

已知a,b∈R+,且x+y=1,求证:xy≤1/4
已知a,b∈R+,且x+y=1,求证:xy≤1/4

已知a,b∈R+,且x+y=1,求证:xy≤1/4
证明 因为 a,b∈R+,且x+y=1
所以 (x+y)^2=1
x^2+2xy+y^2=1
又 因为 2xy≤x^2+y^2
所以
2xy+2xy≤1
xy≤1/4

x>0,y>0
所以 (√x-√y)²≥0
x+y-2√(xy)≥0
1-2√(xy)≥0
√(xy)≤1/2
所以xy≤1/4

由均值不等式:x+y≥2√xy
∴1≥2√xy
∴√xy≤1/2
∴xy≤1/4
很简单的。

X+Y=1
两边同时平方
(X+Y)2=1
X2+2XY+Y2=1
(X-Y)2+4XY=1
4XY=1-(X-Y)2
因为 (X-Y)2>=0
所以 -(X-Y)2<=0
1-(X-Y)2<=1
所以, 4XY=1-(X-Y)2<=1
XY<=1/4