求积分∫e^(-x^2/2) dx

求积分∫e^(-x^2/2) dx
求积分∫e^(-x^2/2) dx

求积分∫e^(-x^2/2) dx
在matlab中求
>> syms x
>> int(exp((-x^2/2)))
ans =
(2^(1/2)*pi^(1/2)*erf((2^(1/2)*x)/2))/2

这个积分是没有定积分的，还记得正态分布的密度函数吗？如果题目中积分的区间为已知的常数或无穷时，带入正态分布密度函数f(u,t平方)=1/(t*根号(2pi))*e^(-((x-u)^2)/(t^2))，u为期望值，t为标准差，按照上题，积分函数为f（0，2），若积分区间[a,b]，设正态分布函数为F（x），
原式=根号（2*pi*t平方）*（F(b)-F(a)）=根号（2*pi*2）*（F...

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这个积分是没有定积分的，还记得正态分布的密度函数吗？如果题目中积分的区间为已知的常数或无穷时，带入正态分布密度函数f(u,t平方)=1/(t*根号(2pi))*e^(-((x-u)^2)/(t^2))，u为期望值，t为标准差，按照上题，积分函数为f（0，2），若积分区间[a,b]，设正态分布函数为F（x），
原式=根号（2*pi*t平方）*（F(b)-F(a)）=根号（2*pi*2）*（F(b)-F(a)）, 其中记住特殊值F（正无穷）-F（负无穷）=1 ， F（正无穷）-F（0）=F（0）-F（负无穷）=0.5

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提供以下过程求解indefinite integral（不定积分）
供参考（方法相同）
First, you need to separate the fraction:
∫ (e^x +1) / (e^x -1) dx = ∫ (e^x / (e^x -1) + 1 / (e^x -1)) dx
. . . . . . . . . . . . . . . . = ...

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提供以下过程求解indefinite integral（不定积分）
供参考（方法相同）
First, you need to separate the fraction:
∫ (e^x +1) / (e^x -1) dx = ∫ (e^x / (e^x -1) + 1 / (e^x -1)) dx
. . . . . . . . . . . . . . . . = ∫ e^x / (e^x -1) dx + ∫ 1 / (e^x -1) dx
For first integral use substitution:
u = e^x -1
du = e^x dx
For second integral use substitution:
t = e^x
dt = e^x dx
dx = dt/e^x = dt/t
∫ (e^x +1) / (e^x -1) dx = ∫ 1/u du + ∫ 1 / ((t-1)t) dt
. . . . . . . . . . . . . . . . = ∫ 1/u du + ∫ (1/(t-1) - 1/t) dt . . . . using partial fractions
. . . . . . . . . . . . . . . . = ∫ 1/u du + ∫ 1/(t-1) dt - ∫ 1/t dt
. . . . . . . . . . . . . . . . = ln(u) + ln(t-1) - ln(t) + C
Substituting back we get:
∫ (e^x +1) / (e^x -1) dx = ln(e^x -1) + ln(e^x -1) - ln(e^x) + C
. . . . . . . . . . . . . . . . = ln(e^x -1) -½ ln(e^x) + ln(e^x -1) - ½ ln(e^x) + C
. . . . . . . . . . . . . . . . = 2 (ln(e^x -1) -½ ln(e^x)) + C
. . . . . . . . . . . . . . . . = 2 (ln(e^x -1) - ln(e^(x/2))) + C
. . . . . . . . . . . . . . . . = 2 ln((e^x -1)/e^(x/2)) + C
. . . . . . . . . . . . . . . . = 2 ln(e^(x/2) -e^(-x/2)) + C

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这是高斯积分公式， 

这个貌似没有原函数，它最开始是用双重积分算出来的

可通过概率求解，e^(-x^2/2)可看作正态分布中均值为0，方差为1.现用a作为均值，b作为方差，求该式积分，即先求x=下限，x=上线的正态分布概率，再乘以√（（2π））*b。