如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,BD∩AC=G(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求证:AE∥平面BFD;(3)求四面体BCDF的体积.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 04:06:14
如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,BD∩AC=G(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求证:AE∥平面BFD;(3)求四面体BCDF的体积.
如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,BD∩AC=G
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求证:AE∥平面BFD;
(3)求四面体BCDF的体积.
如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,BD∩AC=G(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求证:AE∥平面BFD;(3)求四面体BCDF的体积.
给你解答一下吧,高中了吧,一些简单的细节自己能看出来的我就略写了.
(1)连接FD,FG两条辅助线
因为BF⊥平面ACE
所以BF⊥EC,BF⊥FG
又因为BE=BC=2,
所以F是EC中点.所以BF=EF=FC=√2
G是中点,F是中点,所以FG等于一半的AE等于1
又因为BF⊥FG
所以BG=√3,BD=2√3.DC=2√2=AB
所以三角形ABE是等腰直角三角形,所以AE⊥EB
又因为AE=2,EC=2√2,AC=BD=2√3,所以三角形AEC为直角三角形且角AEC为直角(勾股定理)
所以AE⊥EC同时AE⊥EB,所以AE⊥平面BCE
(2)因为G是中点,F是中点
所以在三角形ACE中AE∥FG
又因为A是平面BFD之外的点
所以AE∥平面BFD
(3)三角形FGC中FG=1,FC=√2,GC=√3,所以三角形FGC是直角三角形
面积为√2/2,
点B与点D距离平面FGC的距离一样,所以四面体BGFC与四面体DGFC的体积相等,而且为四面体BCDF的一半.
点B距离平面FGC的距离为√2
那么四面体BGCF的体积为√2×(√2/2)×1/3=1/3
四面体BCDF的体积为2/3.
打字不易,注意给分