已知正方形ABCD中,AC,BD相交于O ,Q在DC上,P在 BC上,且AQ垂直DP.求证 OP垂直OQ

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/16 07:29:21

已知正方形ABCD中,AC,BD相交于O ,Q在DC上,P在 BC上,且AQ垂直DP.求证 OP垂直OQ
已知正方形ABCD中,AC,BD相交于O ,Q在DC上,P在 BC上,且AQ垂直DP.
求证 OP垂直OQ

已知正方形ABCD中,AC,BD相交于O ,Q在DC上,P在 BC上,且AQ垂直DP.求证 OP垂直OQ
证明：
∵AQ⊥DP
∴∠CDP+∠AQD=90°
∵∠DAQ+∠AQD=90°
∴∠CDP=∠DAQ
∵CD=DA,∠DCP=∠ADQ=90°
∴ΔDCP≌ΔADQ
∴CP=DQ
∵OC=OD,∠OCP=∠ODQ=45°
∴ΔOCP≌ΔODQ
∴∠COP=∠DOQ
∵∠DOQ+∠COQ=∠COD=90°
∴∠COP+∠COQ=∠POQ=90°
∴OP⊥OQ

∵∠ADP+∠CDP=90°,∠ADP+∠DAQ=90°
∴∠CDP=∠DAQ
又∵∠BCD=∠CDA,DC=AD
∴△DCP≌△ADQ
∴PC=QD
又∵∠ACB=∠BDC,OC=OD
∴△OPC≌△OQD
∴∠POC=∠QOD
∵OC⊥OD
∴∠QOD+∠QOC=90°
又∵∠POC=∠QOD
∴∠POC+∠QOC=90°即∠POQ=90°
∴OP⊥OQ

证明:∠DAQ=∠CDP(与为∠ADP的余角);AD=DC;∠ADQ=∠DCP=90°.
则⊿ADQ≌⊿DCP(ASA),AQ=DP;
又∠OAD=∠ODC=45度,则∠OAD-∠DAQ=∠ODC-∠CDP,即∠OAQ=∠ODP.
又OA=OD.故⊿OAQ≌⊿ODP(SAS),∠POD=∠QOA.
所以,∠POQ=∠POD-∠DOQ=∠QOA-∠DOQ=90度,得OP垂直OQ.

由AQ⊥DP，得∠DAQ＋∠ADP＝90°
由∠ADQ=90°，所以∠DAQ＝∠CDP
又有AD＝DC，∠ADQ＝∠DCP，所以△ADQ全等于△DCP，所以DQ=CP
又因为∠ODQ=45°＝∠OCP，OD＝OC，所以△ODQ全等于△OCP
所以∠DOQ＝∠COP，所以∠POQ＝∠COD＝90°

△DCP≌△ADQ ------> BP=CQ -------> △BOP≌△OCQ --------> ∠BOP=∠COQ -------> ∠BOP+∠COP=90° --------> ∠POC+∠QOC=90° --------> OP⊥OQ

已知 正方形ABCD中,AC,BD相交于O ,Q在DC上,P在 BC上,且AQ垂直DP.求证 OP垂直OQ

已知正方形ABCD中,AC,BD相交于O ,Q在DC上,P在 BC上,且AQ垂直DP.求证 OP垂直OQ