设函数y=ax^3+bx^2+cx+d的图像与y轴的焦点为P点,曲线在点P处的切线方程为12x-y-4=0.若函数在x=2处取得极值0,求函数的单调区间.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 15:19:44

设函数y=ax^3+bx^2+cx+d的图像与y轴的焦点为P点,曲线在点P处的切线方程为12x-y-4=0.若函数在x=2处取得极值0,求函数的单调区间.
设函数y=ax^3+bx^2+cx+d的图像与y轴的焦点
为P点,曲线在点P处的切线方程为12x-y-4=0.若函数在x=2处取得极值0,求函数的单调区间.

设函数y=ax^3+bx^2+cx+d的图像与y轴的焦点为P点,曲线在点P处的切线方程为12x-y-4=0.若函数在x=2处取得极值0,求函数的单调区间.
y=ax^3+bx^2+cx+d
对函数求导得y’=3ax^2+2bx+c
函数y=ax^3+bx^2+cx+d的图像与y轴相交于P点(0,4),所以y(0)=4,即d=4.
因为曲线在点P处的切线方程为12x-y-4=0,即曲线在点P处的斜率为12,所以y’(0)=12,即c=12.
因为y(2)=0,所以2a+b+7=0.
又因为函数在x=2处取得极值0,所以y’(2)=0,即3a+b+3=0.
由2a+b+7=0和3a+b+3=0可知a=4,b=-15.
因此原方程为y=4x^3-15x^2+12x+4
求导得y'=12x^2-30x+12,解得当y’=0时,x=2或x=1/2,且当1/2≤x≤2时,y’≤0,当x2时,y’>0,因此函数的单调递减区间为[1/2,2]单调递增区间为(-∞,1/2)∪(2,+∞)