作业帮a1=0,a2=1,an=(an-1+an-2)/2 求证数列是收敛的,并求极限.2楼3楼都不对2楼看错了题3楼，a4>a5不能用单调性
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 00:33:32
a1=0,a2=1,an=(an-1+an-2)/2 求证数列是收敛的,并求极限.2楼3楼都不对2楼看错了题3楼，a4>a5不能用单调性
a1=0,a2=1,an=(an-1+an-2)/2 求证数列是收敛的,并求极限.
2楼3楼都不对
2楼看错了题
3楼，a4>a5不能用单调性
a1=0,a2=1,an=(an-1+an-2)/2 求证数列是收敛的,并求极限.2楼3楼都不对2楼看错了题3楼，a4>a5不能用单调性
这个先用特征方程求出an来,求法如下
an=(an-1+an-2)/2 的特征方程是x^2=(x+1)/2解出来的x1=-1/2,x2=2代入下式
an=c1*x1^n+c2*x2^n=c1*x1^n-1+(x2*c2)*x2^n-1
得an=c1*(-1/2)^n+c2(1)^n,再有a1,a2解出c1,c2.
最后得数列的通项公式是an=4/3*(-1/2)^n+2/3（有通项证明就应该不难了吧）
取极限的该数列的极限是2/3
a3= (a1+a2)/2 = 1/2
a4= (a3+a2)/2 = 3/4
an is bounded by 1
an is increasing
an 是收敛的
lim(n->∞)an
=1
a(n)-a(n-1) = (-1/2)·[a(n-1)-a(n-2)]
lim [a(n)-a(n-1)] = 0, a(n)收敛
a(n)-a(n-1) = (-1/2)^(n-2)·[a2-a1] = (-1/2)^(n-2)
a(n) = a(1)+ (-1/2)^0 + (-1/2)^1 +...+ (-1/2)^(n-2)
lim a(n) = lim a(1) + lim [(-1/2)^0 + (-1/2)^1 +...+ (-1/2)^(n-2)]
= 0 + 1/[1-(-1/2)] = 2/3
a3= (a1+a2)/2 = 1/2
a4= (a3+a2)/2 = 3/4
an is bounded by 1
an is increasing
an 是收敛的
lim(n->∞)an
=1 #