一道函数单调性证明题!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 13:12:27
一道函数单调性证明题!
一道函数单调性证明题!
一道函数单调性证明题!
证明:
分两步.
一、 证明对任意的x∈(a,b),x>x0,都有 φ(x)>φ(x0)
对任意的x∈(a,b),x<x0,都有 φ(x)<φ(x0).
因为两种情况的证明是类似的,所以我们仅就x∈(a,b),x<x0的情况证明它.
由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(x,x0),使得
〔f(x0)-f(x)〕/(x0-x)=f′(ξ)
因为ξ<x0,且f′(x)单调增,
所以有f′(ξ) <f′(x0).
二、 证明对任意的x1,x2∈(a,b),x1≠x0,x2≠x0,x1<x2,都有φ(x1)<φ(x2).为了叙述方便,在下面我们假设x0<x1<x2
同样由拉格朗日中值定理,存在λ∈(x0,x1),使得
φ(x1)=〔f(x1)-f(x0)〕/(x1-x0)=f′(λ)
从而f(x1)-f(x0)= (x1-x0)f′(λ)
同样存在μ∈(x1,x2),使得
〔f(x2)-f(x1)〕/(x2-x1)=f′(μ)
因为μ>λ,且f′(x)单调增,
所以有f′(μ) >f′(λ).
从而f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f′(μ) >(x2-x1)f′(λ)
所以
φ(x2)=〔f(x2)-f(x0)〕/(x2-x0)
=〔f(x2)-f(x1)+f(x1)-f(x0)〕/(x2-x0)
>〔(x2-x1)f′(λ)+ (x1-x0)f′(λ) 〕/(x2-x0)
=(x2-x1+ x1-x0)f′(λ)/ (x2-x0)
=(x2-x0) f′(λ)/ (x2-x0)
= f′(λ)=φ(x1)
综合这两步,我们就证明了整个结论.
分数太少了0 分 哈哈 解出来也不跟你说。