非奥赛题.

非奥赛题.
非奥赛题.
 

非奥赛题.
先对a_99做一下分析.
其中每一项可以表示为n^2 / (n(n-100)+5000)
对于分母中的n(n-100),很容易看出n=1和n=99时都是-99.所以a_99的第一项与最后一项的分母相同,第二项与倒数第二项的分母相同,这样我们可以进行两两组合：
(1)第1项+第99项：(1^2 + 99^2)/(1^2 - 100*1 + 5000) = (1^2 + (100-1)^2)/(1^2 - 100*1 + 5000)=2
(2)第2项+第98项：(2^2 + 98^2)/(2^2 - 100*2 + 5000) = (2^2 + (100-2)^2)/(2^2 - 100*2 + 5000) =2
...
(50)第50项 ＝ 1
所以a_99 = 49*2 + 1 = 99

小学数学题居然出现数列，要用小学知识解，如何是好

手边没有笔，给你口述吧。你把每一项化简成1-5000+100的形式，加到99，用高斯公式

n=1与n=99分母相同，n=2与n=98分母相同……
也就是说n与（100－n）分母相同，可相加
n^2/(n^2-100n+5000)+(100-n)^2/[(100-n)^2-100(100-n)+5000]
=2 (化简过程略）
所以，2a99=2*99 （两个a99相加，首尾颠倒过来相加，正好99对）
a99=99

通项公式为{an}=n^2/（n^2-100n+5000)
{a(100-n)}=(100-n)^2/[(100-n)^2-100(100-n)+5000]
=(100-n)^2/(10000-200n+n^2-10000+100n+5000)
=(100-n)^2/(n^2-100n+5000)
所以{an}+{a(100-n)}=n^2/（n^2-100n+50...

全部展开

通项公式为{an}=n^2/（n^2-100n+5000)
{a(100-n)}=(100-n)^2/[(100-n)^2-100(100-n)+5000]
=(100-n)^2/(10000-200n+n^2-10000+100n+5000)
=(100-n)^2/(n^2-100n+5000)
所以{an}+{a(100-n)}=n^2/（n^2-100n+5000)+(100-n)^2/(n^2-100n+5000)
=（2n^2-200n+10000）/(n^2-100n+5000)=2
原题共有99项，其中98项（比如1和99 ，2和98 ...49和51）相对应，有49组，每组相加均等于2，第50项独立
所以[1*1/（1*1-1*100+5000）]+[2*2/(2*2-2*100+5000）]+...+[99*99/（99*99-99*100+5000）]= 49*2+50^2/（50^2-100*50+5000)=98+1=99

收起