在等腰直角三角形ABC中,P为边AB上的一点,PD垂直AC于D,PE垂直于BC于E,AE交PD于M,BD交PE于N,求证PM=PNAB是斜边
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/28 23:26:21
在等腰直角三角形ABC中,P为边AB上的一点,PD垂直AC于D,PE垂直于BC于E,AE交PD于M,BD交PE于N,求证PM=PNAB是斜边
在等腰直角三角形ABC中,P为边AB上的一点,PD垂直AC于D,PE垂直于BC于E,AE交PD于M,BD交PE于N,求证PM=PN
AB是斜边
在等腰直角三角形ABC中,P为边AB上的一点,PD垂直AC于D,PE垂直于BC于E,AE交PD于M,BD交PE于N,求证PM=PNAB是斜边
等腰直角三角形ABC中,C是直角,AC=BC.
由图知:
三角形AMP与三角形AEB相似.
得 PM/BE=AP/AB``````1
三角形BNP与三角形BDA相似.
得 PN/AD=BP/AB``````2
1'2两式都有AB,一合并得 PN/PM=(PB*AD)/(AP*BE)
因为PE垂直于BC,所以三角形PEB是直角等腰.PB/BE=根号2
同理 AD/AP=1/(根号2)
所以PN/PM=1
及PN=PM
PD垂直AC,PE垂直于BC,等腰直角三角形ABC
所以CDPE是矩形。
PD//且=CE, PE//且=CD
PN:CD=PN:PE=PD:(PD+BE)=CE:(CE+BE)=CE:BC
同样,PM:CE=PM:PD=CD:AC
因为是等腰直角三角形ABC,
AC=BC
PN=CD*CE/BC=CD*CE/AC=PM,得证。
证明方法:
因为ABC为等腰直角三角形,
因此可以,以AB为对角线,做正方形ACBC',
相应地,PD'垂直AC'于D',PE'垂直于BC'于E',AE'交PD'于M',BD'交PE'于N'
连接MM'N'N,形成一个四边形,
由于P是正方形ACBC'上的点,
所以,PM=PM',角MPM'=90度,PN=PN',角=90度,MM'平行于NN',
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证明方法:
因为ABC为等腰直角三角形,
因此可以,以AB为对角线,做正方形ACBC',
相应地,PD'垂直AC'于D',PE'垂直于BC'于E',AE'交PD'于M',BD'交PE'于N'
连接MM'N'N,形成一个四边形,
由于P是正方形ACBC'上的点,
所以,PM=PM',角MPM'=90度,PN=PN',角=90度,MM'平行于NN',
三角形PAE'面积=1/2PE'*AD,三角形PDB面积=1/2PD*DC,
因为PE'=PE=DC,PD=PD"=AD,因此
三角形PAE'面积=三角形PDB面积
即,1/2(PN*EB+PN*EC)=1/2(PM'*EB+PM'*DC)
所以,PN=PM',而PM'=PM
PM=PN得等。
由此,也可知四边形MM'N'N为正方形!
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