若数列{an}满足a(n加1)的平方减an的平方等于d,其中d为常数已知等方差数列{an}满足an>0、a1=1、a5=3(1)求数列{an}的通项公式(2)求数列{an的平方(1/2)的n次方}的前n项和
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 06:38:01
若数列{an}满足a(n加1)的平方减an的平方等于d,其中d为常数已知等方差数列{an}满足an>0、a1=1、a5=3(1)求数列{an}的通项公式(2)求数列{an的平方(1/2)的n次方}的前n项和
若数列{an}满足a(n加1)的平方减an的平方等于d,其中d为常数已知等方差数列{an}满足an>0、a1=1、a5=3
(1)求数列{an}的通项公式
(2)求数列{an的平方(1/2)的n次方}的前n项和
若数列{an}满足a(n加1)的平方减an的平方等于d,其中d为常数已知等方差数列{an}满足an>0、a1=1、a5=3(1)求数列{an}的通项公式(2)求数列{an的平方(1/2)的n次方}的前n项和
(1)a2方-a1方=d,a3方-a2方=d,a4方-a3方=d,a5方-a4方=d.四式相加得a5方-a1方=4d,代入a1=1,a5=3,可求得d=2.另:把上述四式扩展到n式,可得an方-a1方=(n-1)d=2(n-1),整理得
an方=a1方+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1,所以,an=根号(2n-1).
(2)Sn=1*(1/2)+3*(1/4)+5*(1/8)+.+(2n-3)(1/2^(n-1))+(2n-1)(1/2^n)
2Sn= 1+3*(1/2)+5*(1/4)+7*(1/8)+.+(2n-1)(1/2^(n-1)),两式错项相减得
Sn=1+2*(1/2)+2*(1/4)+2*(1/8)+.2*(1/2^(n-1)) - (2n-1)(1/2^n),可见除了两端两项外,中间的n-1项为首相为1,公比为1/2的等比数列,按其求和公式整理得Sn=3-(2n+3)(1/2^n).
代入首相检验S1=1/2=(a1)^2 *(1/2)^n,所以S1亦满足此式.结论:Sn=3-(2n+3)(1/2^n).