证明∫x(f(x)^2)dx/∫xf(x)dx≤∫f(x)^2dx/∫f(x)dx(下线均为0.上限均为1)f(x)为在[0,1]上单调减少且恒大于零的连续函数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/08 14:44:46

证明∫x(f(x)^2)dx/∫xf(x)dx≤∫f(x)^2dx/∫f(x)dx(下线均为0.上限均为1)f(x)为在[0,1]上单调减少且恒大于零的连续函数
证明∫x(f(x)^2)dx/∫xf(x)dx≤∫f(x)^2dx/∫f(x)dx(下线均为0.上限均为1)
f(x)为在[0,1]上单调减少且恒大于零的连续函数

证明∫x(f(x)^2)dx/∫xf(x)dx≤∫f(x)^2dx/∫f(x)dx(下线均为0.上限均为1)f(x)为在[0,1]上单调减少且恒大于零的连续函数
由f(x) > 0,原式等价于(∫{{0,1} t·f(t)²dt)·(∫{0,1} f(t)dt) ≤ (∫{{0,1} f(t)²dt)·(∫{0,1} t·f(t)dt).
设F(x) = (∫{{0,x} f(t)²dt)·(∫{0,x} t·f(t)dt)-(∫{{0,x} t·f(t)²dt)·(∫{0,x} f(t)dt),则F(0) = 0.
F'(x) = f(x)²·(∫{0,x} t·f(t)dt)+x·f(x)·(∫{{0,x} f(t)²dt)-x·f(x)²·(∫{0,x} f(t)dt)-f(x)·(∫{{0,x} t·f(t)²dt)
= f(x)·∫{0,x} (t·f(x)+x·f(t)-x·f(x)-t·f(t))·f(t) dt
= f(x)·∫{0,x} (x-t)(f(t)-f(x))·f(t) dt.
对t∈[0,x],有x-t ≥ 0,而f(x)单调减,故f(t)-f(x) ≥ 0,又f(x) > 0,f(t) > 0.
于是有F'(x) = f(x)·∫{0,x} (x-t)(f(t)-f(x))·f(t) dt ≥ 0.
因此F(x)单调增,有F(1) ≥ F(0) = 0.
即(∫{{0,1} t·f(t)²dt)·(∫{0,1} f(t)dt) ≤ (∫{{0,1} f(t)²dt)·(∫{0,1} t·f(t)dt).

∫xf(x^2)f'(x^2)dx=? ∫f(x)dx+∫xf'(x)dx= [f(x)+xf'(x)]dx 已知f(x)=x^2+∫xf(x)dx求f(x) 已知∫f(x)dx=xf(x)-∫x/√(1+x^2)dx,则f(x)= ∫xf'(x)dx=? 求∫xf''(x)dx ∫xf(x平方f撇(x平方))dx等于? 求不定积分 ∫ [f(x)+xf'(x)]dx= 若∫f(x)dx=cosx+C,则∫xf(x^2)dx=? 若∫ f(x)dx=lnx+c ,则∫ xf(1+x^2)dx= 已知f（x）的一个原函数为sinx/x ,证明∫xf'(x)dx=cosx-2sinx/x+c 怎么证明设连续函数f(x)满足方程∫xf(x)dx=x+∫x^2f(x)dx,求∫f(x)dx ∫f(x)dx=F(x)+C,则∫e^-xf(e^-x)dx等于? ∫f(x)dx=F(x)+c, 则∫xf(1-x²)]dx=? sec^2 x是f(x)的一个原函数,则∫xf'(x)dx=? ∫xf(x^2)dx=xe^x,求f(x) 已知∫xf(x)dx=x/(根号1-x^2)+C,求∫1/f(x)dx