作业帮求微分方程y'= 1/(2x-y^2)通解+50分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 04:22:55
求微分方程y'= 1/(2x-y^2)通解+50分
求微分方程y'= 1/(2x-y^2)通解
+50分
求微分方程y'= 1/(2x-y^2)通解+50分
∵y'= 1/(2x-y²)
∴dx/dy=2x-y².(1)
∵齐次方程dx/dy-2x=0的特征方程是r-2=0,则r=2
∴齐次方程dx/dy-2x=0的通解是x(y)=Ce^(2y) (C是积分常数)
于是,设微分方程(1)的通解是x(y)=C(y)e^(2y) (C(y)是关于y的函数)
∵x'(y)=C'(y)e^(2y)+2C(y)e^(2y)
代入微分方程(1),得C'(y)e^(2y)+2C(y)e^(2y)=2C(y)e^(2y)-y²
==>C'(y)e^(2y)=-y²
==>C'(y)=-y²e^(-2y)
∴C(y)=-∫y²e^(-2y)dy
=y²e^(-2y)/2-∫ye^(-2y)dy (应用分部积分法)
=y²e^(-2y)/2+ye^(-2y)/2-1/2∫e^(-2y)dy (再次应用分部积分法)
=y²e^(-2y)/2+ye^(-2y)/2+e^(-2y)/4+C (C是积分常数)
从而,x(y)=[y²e^(-2y)/2+ye^(-2y)/2+e^(-2y)/4+C]e^(2y)
=y²/2+y/2+1/4+Ce^(-2y)
故原微分方程的通解是x(y)=y²/2+y/2+1/4+Ce^(-2y) (C是积分常数)
x-1/4-(1/2)*y(x)-(1/2)*y(x)^2-C*exp(2*y(x))= 0
很简单，把y当做自变量，一下就出来了
变成求diff(x(y), y) = 2*x(y)-y^2
很轻松就解出
x(y) = 1/4+(1/2)*y+(1/2)*y^2+C*exp(2*y)
或为
x-1/4-(1/2)*y(x)-(1/2)*y(x)^2-C*exp(2*y(x))= 0