平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有10条.则这10线交于一点.那么请验证以下两个结论是否成立?一,平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过

平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有10条.则这10线交于一点.那么请验证以下两个结论是否成立?一,平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过
平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有10条.则这10线交于一点.
那么请验证以下两个结论是否成立?
一,
平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其垂心作另外两点连线的垂线,共有10条.则这10线交于一点.
二,
平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其内心作另外两点连线的垂线,共有10条.则这10线交于一点.
要证明过程.其实，第一个我已证明为真，第二个未知。

平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有10条.则这10线交于一点.那么请验证以下两个结论是否成立?一,平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过
（自己写的证明,有一点长,有一点乱,还请多多楼主指点）
一,
引理一:
 设有三角形ABC,其垂心为H,外接圆半径为R
 则AH=2RcosA,BH=2RcosB,CH=2RcosC
 证：设外接圆为圆O
     延长BO交圆O于点K
     则∠BCK=90°
     ∴KC⊥BC
     ∵AH⊥BC
     ∴AH‖KC
     ∵∠BAK=90°
     ∴KA⊥BA
     ∵CH⊥AB
     ∴AK‖HC
     ∴AKCH为平行四边形
     ∴AH=KC=2RcosA
     同理可知BH=2RcosB,CH=2RcosC
     引理一证毕
证：第一问一定成立
下面首先证过△ABC,△BCD,△CDE,△DEA,△EAB垂心的五线共点
设外接圆半径为R
如图1作辅助线
H1为△ABC垂心
H2为△BCD垂心
H3为△CDE垂心
∵CH2⊥BD
∵H1C⊥AB
∴∠H1CH2即为AB与BD所夹的钝角
∴∠H1CH1=180°-∠ABD
由引理一知
CH2=2Rcos∠BCD=2Rsin(∠BCD-90°）
CH1=2Rcos∠BCA=2Rsin(90°-∠BCA）
CH3=2Rcos∠ECD=2Rsin(90°-∠ECD）
∵(∠BCD-90°)+(90°-∠BCA)+(180°-∠ABD)=∠BCD-∠BCA-∠ABD+180°=180°
∴∠H2H1C=∠BCD-90°, ∠H1H2C=90°-∠BCA
∴同理可得∠H2H3C=∠BCD-90°,∠H3H2C=90°-∠ECD ,∠H2CH3=180°-∠ACD
∵CH1⊥AB,H1P⊥DE
∴∠CH1P即为AB与DE所夹的钝角
∴∠CH1P=180°-∠ABD-∠BDE
∴同理∠CH2Q=180°-∠BDE-∠AED
    ∠CH3R=180°-∠ABD-∠BDE
∴∠H2H1P=∠CH1P+∠H2H1C=90°-∠ACE
  ∠H1H2Q=∠H1H2C-∠CH2Q=90°-∠DBE
  ∠H3H2Q=∠H3H2C+∠CH2Q=90°-∠BDA
  ∠H2H3R=∠H2H3C+∠CH3R=90°-∠ACE
∵H3R⊥AB,H1C⊥AB
∴H3R‖H1C
∴∠H3H1P=∠CH3H1
∴同理∠H1H3R=∠CH1H3
（sin∠H2H1P/sin∠H3H1P)*(sin∠H1H3R/sin∠H2H3R)*(sin∠H3H2Q/sin∠H1H2Q)
=(sin∠H2H1P/sin∠H2H3R)*(sin∠H1H3R/sin∠H3H1P)*(sin∠H3H2Q/sin∠H1H2Q)
=(sin(90°-∠ACE)/sin(90°-∠ACE))*(sin∠CH1H3/sin∠CH3H1)*(sin(90°-∠BDA)/sin(90°-∠DBE))
=(CH3/CH1)*(cos∠BCA/cos∠DCE)
=(2Rcos∠ECD/2Rcos∠BCA)*(cos∠BCA/cos∠DCE)
=1
由角元塞瓦定理知H1P,H2Q,H3R共点
可用类似方法证明过△ABC,△BCD,△CDE,△DEA,△EAB垂心的五垂线共点,设这一点为X
下证过其他五个三角形垂心的垂线也过这一点
如图2
选取其中△ACD为例证明
由引理一知
CH4=2Rcos∠ACD=2Rsin(90°-∠ACD）
∵CH2⊥BD
∵H4C⊥AD
∴∠H4CH2即为AD与BD所夹的钝角
∴∠H4CH1=180°-∠ADB
∵(∠BCD-90°)+(90°-∠ACD)+(180°-∠ADB)=∠BCD-∠ACD-∠ABD+180°=180°
∴∠H2H4C=∠BCD-90°, ∠H4H2C=90°-∠ACD
∵CH1⊥AB
∵H4C⊥AD
∴∠H4CH2即为AD与BD所夹的钝角
∴∠H4CH1=180°-∠BAD
∵CH1=2Rcos∠BCA=2Rsin(90°-∠BCA）
∵(90°-∠ACD)+(90°-∠BCA)+(180°-∠BAD)=360°-∠ACD-∠BCA-∠BAD=180°
∴∠H1H4C=90°-∠BCA, ∠H4H1C=90°-∠ACD
∵CH4⊥AD,H4S⊥BE
∴∠CH4S即为AD与BE所夹的钝角
∴∠CH4S=180°-∠BEA-∠DAE
∴∠H2H1P=∠CH1P+∠H2H1C=90°-∠ACE
  ∠H1H2Q=∠H1H2C-∠CH2Q=90°-∠DBE
  ∠H4H2Q=∠H4H2C+∠CH2Q=90°-∠BDE
  ∠H2H4S=∠H2H4C+∠CH4S=90°+∠ACE
  ∠H1H4S=∠SH4C-∠CH4H1=90°-∠DBE
  ∠H4H1P=∠PH1C-∠CH1H4=90°-∠BDE
（sin∠H2H1P/sin∠H4H1P)*(sin∠H1H4S/sin∠H2H4S)*(sin∠H4H2Q/sin∠H1H2Q)
=(sin(90°-∠ACE)/sin(90°-∠BDE))*(sin(90°-∠DBE)/sin(90°+∠ACE))*(sin(90°-∠BDE)/sin(90°-∠DBE))
=1
由角元塞瓦定理知H1P,H2Q,H4S共点
可用类似方法证明过△ABD,△BCE,△CDA,△DEB,△EAC垂心的五垂线均过点X
则十线共点
证毕
二,对于第二问
构造可知不一定成立如图3
（p.s.我开始看成让证重心了.）

满足这些条件必须是正五角形, 10线交于正五角形中心一点(圆心),5点共圆的圆心=内切圆的圆心, 两个垂心,内心结论成立.

我用几何画板验证了一下，一是对的！真是很神奇的结论！不过二是不对的。

附下一的图，其中虚线为10条中的6条。证明还要再想想~ 

对"一"的证明想出来啦:) 用向量, 出人意料的简单!

设圆心O, 五个点为ABCDE. 记a=向量OA, b=向量OB, 依此类推. a,b,c,d,e的模都相同.

取P: 向量OP=a+b+c+d+e, 可以证明P就是所求的十条线的交点! 证明如下.

设ABC的垂心是H, 容易验证:向量OH=a+b+c (取H'满足OH'=a+b+c, 向量AH'=b+c, 向量BC=c-b, AH·BC=|b|^2-|c|^2=0, 所以AH'垂直于BC, 类似的可证BH'垂直于AC, 从而H'是ABC的垂心).

所以向量HP=向量OP-向量OH=d+e, 而向量DE=e-d, 所以HP·DE=0, 即HP垂直DE.

如上所述, 过ABC的垂心与DE垂直的直线经过点P.

由于P点的坐标关于ABCDE是对称的, 同理可知另外九条线也经过点P, 证毕.

顺便说一句, 你标题中那个结论也可以用这个方法证. 交的那个点Q满足：向量OP=(a+b+c+d+e)/3.