求05到09年的全国初中数学联赛试题可能大家也都知道初中数学联赛开始报名了,我今年第一次参加,以前似乎……就小学奥数还蛮不错,上了初中就没碰过.所以,希望有经验,时间,和条件的帮帮

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求05到09年的全国初中数学联赛试题
可能大家也都知道初中数学联赛开始报名了,我今年第一次参加,以前似乎……就小学奥数还蛮不错,上了初中就没碰过.所以,希望有经验,时间,和条件的帮帮忙,找一下历届数学联赛的试题,↖(^ω^)↗

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05年数学联赛
http://www.jzsx.com/swz/List.asp?ID=349
09年数学联赛
http://wenku.baidu.com/view/1140ac116c175f0e7cd137c8.html
02年到06年的联赛
http://zhongkao.tl100.com/UploadFiles_7836/200711/20071130090654804.doc
07年选拔赛
http://eblog.cersp.com/UploadFiles/2008/5-8/58606823.doc
08年江西决赛
2008年全国初中数学联赛
2008年4月13日上午8：30—9：30
一、选择题：（本题满分42分,每小题7分）
1、设a 2 + 1 = 3 a,b 2 + 1 = 3 b,且a ≠ b,则代数式 + 的值为（ ）
（A）5 （B）7 （C）9 （D）11
2、如图,设AD,BE,CF为△ABC的三条高,若AB = 6,BC = 5,EF = 3,则线段BE的长为（ ）
（A） （B）4 （C） （D）
3、从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、在△ABC中,∠ABC = 12°,∠ACB = 132°,BM和CN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上,则（ ）
（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小关系不确定
5、现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10％或20％,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r,则r的最小值为（ ）
（A）( ) 3 （B）( ) 4 （C）( ) 5 （D）
6、已知实数x,y满足( x – ) ( y – ) = 2008,
则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）
（A）– 2008 （B）2008 （C）– 1 （D）1
二、填空题：（本题满分28分,每小题7分）
1、设a = ,则 = .
2、如图,正方形ABCD的边长为1,M,N为BD所在直线上的两点,且AM = ,∠MAN = 135°,则四边形AMCN的面积为 .
3、已知二次函数y = x 2 + a x + b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n,且| m | + | n | ≤ 1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p,q,则| p | + | q | = .
4、依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串：149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 .
答案： B、D、C、B、B、D；– 2、 、 、1.
一、1、由题设条件可知a 2 – 3 a + 1 = 0,b 2 – 3 b + 1 = 0,且a ≠ b,
所以a,b是一元二次方程x 2 – 3 x + 1 = 0的两根,故a + b = 3,a b = 1,
因此 + = = = = 7；
2、因为AD,BE,CF为△ABC的三条高,易知B,C,E,F四点共圆,
于是△AEF∽△ABC,故 = = ,即cos∠BAC = ,所以sin∠BAC = .
在Rt△ABE中,BE = AB sin∠BAC = 6 × = ；
3、能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个,所以所组成的数是3的倍数的概率是 = ；
4、∵∠ABC = 12°,BM为∠ABC的外角平分线,∴∠MBC = ( 180° – 12° ) = 84°,
又∠BCM = 180° –∠ACB = 180° – 132° = 48°,∴∠BCM = 180° – 84° – 48° = 48°,∴BM = BC,又∠ACN = ( 180° –∠ACB ) = ( 180° – 132° ) = 24°,∴∠BNC = 180° –∠ABC –∠BCN = 180° – 12° – (∠ACB +∠CAN ) = 12° =∠ABC,∴CN = CB,因此,BM = BC = CN；
5、容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.
设5种商品降价前的价格为a,过了n天,n天后每种商品的价格一定可以
表示为a ∙ ( 1 – 10% ) k ∙ ( 1 – 20% ) n – k = a ∙ ( ) k ∙ ( ) n – k,其中k为自然数,且0 ≤ k ≤ n,要使r的值最小,五种商品的价格应该分别为：a ∙ ( ) i ∙ ( ) n – i,a ∙ ( ) i + 1 ∙ ( ) n – i – 1,a ∙ ( ) i + 2 ∙ ( ) n – i – 2,a ∙ ( ) i + 3 ∙ ( ) n – i – 3,a ∙ ( ) i + 4 ∙ ( ) n – i – 4,
其中i为不超过n的自然数,所以r的最小值为 = ( ) 4；
6、∵( x – ) ( y – ) = 2008,∴x – = =
y + ,y – = = x + ,
由以上两式可得x = y, 所以( x – ) 2 = 2008,解得x 2 = 2008,
所以3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007 = 3 x 2 – 2 x 2 + 3 x – 3 x – 2007 = x 2 – 2007 = 1；
二、1、∵a 2 = ( ) 2 = = 1 – a,∴a 2 + a = 1,∴原式=
= = = – = – ( 1 + a + a 2 ) = – ( 1 + 1 ) = – 2；
2、设BD中点为O,连AO,则AO⊥BD,AO = OB = ,MO = = ,
∴MB = MO – OB = .又∠ABM =∠NDA = 135°,
∠NAD =∠MAN –∠DAB –∠MAB = 135° – 90° –∠MAB = 45°–∠MAB =∠AMB,
所以△ADN∽△MBA,故 = ,从而DN = ∙ BA = × 1 = ,根据对称性可知,
四边形AMCN的面积S = 2 S△MAN = 2 × × MN × AO = 2 × × ( + + ) × = ；
3、根据题意,m,n是一元二次方程x 2 + a x + b = 0的两根,所以m + n = – a,m n = b.
∵| m | + | n | ≤ 1,∴| m + n | ≤ | m | + | n | ≤ 1,| m – n | ≤ | m | + | n | ≤ 1.
∵方程x 2 + a x + b = 0的判别式△= a 2 – 4 b ≥ 0,∴b ≤ = ≤ .
4 b = 4 m n = ( m + n ) 2 – ( m – n ) 2 ≥ ( m + n ) 2 – 1 ≥ – 1,故b ≥ – ,等号当m = – n = 时取得；4 b = 4 m n = ( m + n ) 2 – ( m – n ) 2 ≤ 1 – ( m – n ) 2 ≤ 1,故b ≤ ,等号当m = n = 时取得.所以p = ,q = – ,于是| p | + | q | = ；
4、1 2到3 2,结果都只各占1个数位,共占1 × 3 = 3个数位；4 2到9 2,结果都只各占2个数位,共占2 × 6 = 12个数位；10 2到31 2,结果都只各占3个数位,共占3 × 22 = 66个数位；32 2到99 2,结果都只各占4个数位,共占4 × 68 = 272个数位；100 2到316 2,结果都只各占5个数位,共占5 × 217 = 1085个数位；此时还差2008 – ( 3 + 12 + 66 + 272 + 1085 ) = 570个数位.317 2到411 2,结果都只各占6个数位,共占6 × 95 = 570个数位.所以,排在第2008个位置的数字恰好应该是411 2的个位数字,即为1；
2008年全国初中数学联赛
2008年4月13日上午10：00—11：30
第二试 （A）
一、（本题满分20分）已知a 2 + b 2 = 1,对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x,不等式a ( 1 – x ) ( 1 – x – a x ) – b x ( b – x – b x ) ≥ 0 （1）恒成立,当乘积a b取最小值时,求a,b的值.
整理不等式（1）并将a 2 + b 2 = 1代入,得( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a ≥ 0 （2）,
在（2）中,令x = 0,得a ≥ 0；令x = 1,得b ≥ 0.易知1 + a + b > 0,0 < < 1,
故二次函数y = ( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a的图象（抛物线）的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式（2）对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x恒成立,所以它的判别式△= ( 2 a + 1 ) 2 – 4 a ( 1 + a + b ) ≤ 0,即a b ≥ .由方程组 （3）
消去b,得16 a 4 – 16 a 2 + 1 = 0,所以a 2 = 或a 2 = .又因为a ≥ 0,
所以a 1 = 或a 2 = ,于是b 1 = 或b 2 = .所以a b的最小值为 ,此时a,b的值分别为a = ,b = 和a = ,b = .
二、（本题满分25分）如图,圆O与圆D相交于A,B两点,BC为圆D的切线,点C在圆O上,且AB = BC.
（1）证明：点O在圆D的圆周上；
（2）设△ABC的面积为S,求圆D的的半径r的最小值.
（1）连OA,OB,OC,AC,因为O为圆心,AB = BC,所以△OBA∽△OBC,从而∠OBA =∠OBC,因为OD⊥AB,DB⊥BC,所以∠DOB = 90° –∠OBA = 90° –∠OBC =∠DBO,所以DB = DO,因此点O在圆D的圆周上；
（2）设圆O的半径为a,BO的延长线交AC于点E,易知BE⊥AC.设AC = 2 y（0 < y ≤ a）,OE = x,AB = l,则a 2 = x 2 + y 2,S = y ( a + x ),
l 2 = y 2 + ( a + x ) 2 = y 2 + a 2 + 2 a x + x 2 = 2 a 2 + 2 a x = 2 a ( a + x ) = .
因为∠ABC = 2∠OBA = 2∠OAB =∠BDO,AB = BC,DB = DO,所以△BDO∽△ABC,
所以 = ,即 = ,故r = ,所以r 2 = = ∙ = ∙ ( ) 3 ≥ ,即r ≥ ,其中等号当a = y时成立,这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为 .
三、（本题满分25分）设a为质数,b为正整数,且9 ( 2 a + b ) 2 = 509 ( 4 a + 511 b ) （1）
求a,b的值.
（1）式即( ) 2 = ,设m = ,n = ,则n = m 2,
b = = （2）,故3 n – 511 m + 6 a = 0,所以3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 （3）,由（1）式可知,( 2 a + b ) 2能被质数509整除,于是2 a + b能被509整除,故m为整数,
即关于m的一元二次方程（3）有整数根,所以它的判别式△= 511 2 – 72 a为完全平方数.
不妨设△= 511 2 – 72 a = t 2（ 为自然数）,则72 a = 511 2 – t 2 = ( 511 + t ) ( 511 – t ),
由于511 + t和511 – t的奇偶性相同,且511 + t ≥ 511,所以只可能有以下几种情况：
① ,② ,③ ,④ ,两式相加分别得
36 a + 2 = 1022,18 a + 4 = 1022,12 a + 6 = 1022,6 a + 12 = 1022,均没有整数解；
⑤ ,⑥ ,两式相加分别得4 a + 18 = 1022,解得a = 251；
2 a + 36 = 1022,解得a = 493,而493 = 17 × 29不是质数,故舍去.综合可知a = 251.
此时方程（3）的解为m = 3或m = （舍去）.
把a = 251,m = 3代入（2）式,得b = = 7.
第二试 （B）
一、（本题满分20分）已知a 2 + b 2 = 1,对于满足条件x + y = 1,x y ≥ 0的一切实数对( x,y ),不等式a y 2 – x y + b x 2 ≥ 0 （1）恒成立,当乘积a b取最小值时,求a,b的值.
由x + y = 1,x y ≥ 0可知0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1.在（1）式中,令x = 0,y = 1,得a ≥ 0；令x = 1,y = 0,得b ≥ 0.将y = 1 – x代入（1）式,得a ( 1 – x ) 2 – x ( 1 – x ) + b x 2 ≥ 0,
即( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a ≥ 0 （2）,易知1 + a + b > 0,0 < < 1,
故二次函数y = ( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a的图象（抛物线）的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式（2）对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x恒成立,
所以它的判别式△= ( 2 a + 1 ) 2 – 4 a ( 1 + a + b ) ≤ 0,即a b ≥ .由方程组 （3）消去b,得16 a 4 – 16 a 2 + 1 = 0,所以a 2 = 或a 2 = .又因为a ≥ 0,
所以a 1 = 或a 2 = ,于是b 1 = 或b 2 = .所以a b的最小值为 ,此时a,b的值分别为a = ,b = 和a = ,b = .
二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.
第二试 （C）
一、（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第一题相同.
二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三、（本题满分25分）设a为质数,b,c为正整数,且满足 ,求a ( b + c )的值.
（1）式即( ) 2 = ,设m = ,n = ,则2 b – c = = （3）,故3 n – 511 m + 6 a = 0,又n = m 2,
所以3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 （4）,由（1）式可知,( 2 a + 2 b – c ) 2能被509整除,
而509是质数,于是2 a + 2 b – c能被509整除,故m为整数,
即关于m的一元二次方程（4）有整数根,所以它的判别式△= 511 2 – 72 a为完全平方数.
不妨设△= 511 2 – 72 a = t 2（ 为自然数）,则72 a = 511 2 – t 2 = ( 511 + t ) ( 511 – t ),
由于511 + t和511 – t的奇偶性相同,且511 + t ≥ 511,所以只可能有以下几种情况：
① ,② ,③ ,④ ,两式相加分别得
36 a + 2 = 1022,18 a + 4 = 1022,12 a + 6 = 1022,6 a + 12 = 1022,均没有整数解；
⑤ ,⑥ ,两式相加分别得4 a + 18 = 1022,解得a = 251；
2 a + 36 = 1022,解得a = 493,而493 = 17 × 29不是质数,故舍去.综合可知a = 251.
此时方程（3）的解为m = 3或m = （舍去）.
把a = 251,m = 3代入（3）式,得2 b – c = = 7,即c = 2 b – 7,代入（2）式得b – ( 2 b – 7 ) = 2,所以b = 5,c = 3,因此a ( b + c ) = 251 × ( 5 + 3 ) = 2008.
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