用数学归纳法:求证:对于大于1的任意自然数n,都有1/√1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 05:26:39
用数学归纳法:求证:对于大于1的任意自然数n,都有1/√1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n
用数学归纳法:求证:对于大于1的任意自然数n,都有1/√1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n
用数学归纳法:求证:对于大于1的任意自然数n,都有1/√1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n
容易验证n=2时成立
假设n=k时仍成立,现在讨论n=k+1时的情况
1/根号1+1/根号2+...+1/根号k+1/根号(k+1)
>根号k+1/根号(k+1)=根号k-根号(k+1)+1/根号(k+1)+根号(k+1)
=-1/(根号k+根号(k+1))+1/根号(k+1)+根号(k+1)>1/根号(k+1)
归纳完毕
当n=2时1/√1+1/√2 > √2 (左边=1.707>右边=1.414)成立
假设n=k时仍成立,现在讨论n=k+1时的情况
[1/√1+1/√2+1/√3+…+1/√k + 1/√(k+1)]/√(k+1)
>[√k + 1/√(k+1)]/√(k+1)
=[(√k)(√(k+1))+1]/(k+1)
>[(√k)(√k)+1]/(k+1)
全部展开
当n=2时1/√1+1/√2 > √2 (左边=1.707>右边=1.414)成立
假设n=k时仍成立,现在讨论n=k+1时的情况
[1/√1+1/√2+1/√3+…+1/√k + 1/√(k+1)]/√(k+1)
>[√k + 1/√(k+1)]/√(k+1)
=[(√k)(√(k+1))+1]/(k+1)
>[(√k)(√k)+1]/(k+1)
=[(k+1)/(k+1)]
=1
所以[1/√1+1/√2+1/√3+…+1/√k + 1/√(k+1)]/√(k+1) > 1
即n=k+1时不等式成立。
有归纳法知道,不等式对任意n>1成立。
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