设A是数域K上的n级矩阵,证明:如果K^n中任意非零列向量都是A的特征向量,则A一定是数量矩阵.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 00:47:18

设A是数域K上的n级矩阵,证明:如果K^n中任意非零列向量都是A的特征向量,则A一定是数量矩阵.
设A是数域K上的n级矩阵,证明:如果K^n中任意非零列向量都是A的特征向量,则A一定是数量矩阵.

设A是数域K上的n级矩阵,证明:如果K^n中任意非零列向量都是A的特征向量,则A一定是数量矩阵.
设 A=（aij）i,j = 1,.,n.
设 列向量 ei = (0,...,0,1,0,...,0)^T, 其中 1 是第i个坐标, i = 1,2,...,n.
K^n中任意非零列向量都是A的特征向量 ===>
Aei = tiei, ti 属于K 为对应于ei的特征根, i = 1,...,n.
即： （a1i,.., aii,...,ani）= (0,...,0, ti,0,...,0).
===> aij = 0 如果 i 不=j. aii = ti.
下面只需证明 所有的 ti, i =1,...,n 都相等.
因为 ei + ej 也是特征向量,于是：
A(ei + ej) = t(ei + ej), t属于K
即： ti ei + tj ej = t(ei + ej)
(ti - t)ei + (tj -t)ej = 0,
因为 ei, ej 线性无关, 所以 ti = tj = t
所以 A = t En, 其中 En 是 n*n 单位矩阵. 即 A是数量矩阵

设A是数域K上的n级矩阵,证明:如果K^n中任意非零列向量都是A的特征向量,则A一定是数量矩阵. 设A为n阶矩阵 存在正整数k 使得A的k次方等于O 证明：A不可逆 设A是n阶非0矩阵,如果存在一正整数k使得A^k=0,证明A不可能相似于对角矩阵. 设A是n*n可逆矩阵,k≠0,证明:kA也是可逆矩阵 对称矩阵与反对称矩阵证明问题证明：如果A是一个n*n的标量矩阵,A可以被写成A=S+K,此时S是对称矩阵而K是反对称矩阵证明：如果A是一个n*n的矩阵，A可以被写成A=S+K，此时S是对称矩阵而K是反 设A为m*n矩阵,B为n*K矩阵,AB=0,用分块法证明B的k个列是齐次线性方程AX=0的解 设n阶矩阵A={k 1 .1;1 k .;1;1 1.k}求矩阵A的秩 证明：数域K上与所有n级可逆矩阵可交换的一定是N级数量矩阵. 设A为2×2矩阵,证明：如果A^k=0,k＞2,那么A^2=0~ 矩阵A是元全为1的n阶矩阵(n>=2),证明A^k=n^k-1A(k是》2为正整数) 一道有关线性代数可逆矩阵的证明题A是n*n的可逆矩阵,B是n*k的矩阵,如果[A|B]的阶梯矩阵是[I|X],证明 X = (A)^-1B 如果A是数域K上n级矩阵,且满足 AA' = I,|A| = -1.证明|I - A| = 0上面题写错了，最后是证明|I + A| = 0,sorry.应该是这么证的|I + A| = |AA' + A| = |A(A' + I)| = -|A' + I|;又（I + A)' = A' + I;∴|I + A| = |A' + I|;∴|I + A 设A,B均为n阶正定矩阵,证明kA+lB也是正定矩阵,其中k,l为正数 设A ,B为n阶矩阵,如何证明若A*B=k*En(k不等于0）,则B*A=k*En 设A是数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,如果A在P上相似于对角矩阵,证明A=aE为数量矩阵 线性代数你矩阵设n阶矩阵A满足条件A^k=O,证明：I-A可逆,且（）^(-1)=I+A+A^2+A^3+……+A^(k-1）（I-A）^(-1)表示I-A的你矩阵设n阶矩阵A满足条件A^k=O,证明：I-A可逆，且（I-A）^(-1)=I+A+A^2+A^3+……+A^(k-1） 有关矩阵秩的证明问题A是一个实对称矩阵,如果t是A的一个k重特征值,那么证明tE-A 的秩为n-k 设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解方程两边左乘A^(k-1),A^(k)X=A^(k-1)XB=O对A^(k-1)XB=O右乘B的逆矩阵,A^(k-1)X=O由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O这样证明对吗.