线性代数 初等矩阵 初等变换 请问本题的思路是什么?初等矩阵的逆矩阵可能等于自身吗?选项有逆矩阵和矩阵相乘，什么时候逆矩阵等于本身，本题具体形式是什么。

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 16:07:32

线性代数 初等矩阵 初等变换 请问本题的思路是什么?初等矩阵的逆矩阵可能等于自身吗?选项有逆矩阵和矩阵相乘，什么时候逆矩阵等于本身，本题具体形式是什么。
线性代数 初等矩阵 初等变换

 
请问本题的思路是什么?
初等矩阵的逆矩阵可能等于自身吗?
选项有逆矩阵和矩阵相乘，什么时候逆矩阵等于本身，本题具体形式是什么。

线性代数 初等矩阵 初等变换 请问本题的思路是什么?初等矩阵的逆矩阵可能等于自身吗?选项有逆矩阵和矩阵相乘，什么时候逆矩阵等于本身，本题具体形式是什么。
此题考查初等变换与初等矩阵
初等矩阵是经单位矩阵经一次初等变换得到的,
用此初等矩阵左(右)乘A相当于对A实施一次相应的初等行(列)变换
P1是由单位矩阵的第2列加到第1列得到的初等矩阵
根据题意有 AP1 = B
同理有 P2B = E
所以 P2AP1 = E.
三种初等矩阵的逆矩阵的形式要记住
实际上,初等矩阵的逆就是对单位矩阵进行相应的逆变换得到的矩阵
如:P1是由单位矩阵的第2列的1倍加到第1列得到的初等矩阵
那么它的逆就是 由单位矩阵的第2列的-1倍加到第1列得到的初等矩阵
所以 P1^-1 =
1 0 0
-1 1 0
0 0 1
同理,P2^-1 = P2
所以 A = P2^-1P1^-1 = P2^1P1
(D) 正确

本题的思路是：任何矩阵的初等变换等价于该矩阵左乘一个单位阵的初等变换或右乘一个单位阵的初等变换。P1和P2就是单位阵的初等变换，所以题目中所给出的条件都可以用单位阵的初等变换来表示。
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