A是m*n矩阵 则r(A)=r(A^TA) 怎么证明

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 20:22:58

A是m*n矩阵 则r(A)=r(A^TA) 怎么证明
A是m*n矩阵 则r(A)=r(A^TA) 怎么证明

A是m*n矩阵 则r(A)=r(A^TA) 怎么证明
命题需要A是实矩阵才成立

证明:
(1)设X1是AX=0的解, 则AX1=0
所以A^TAX1=A^T(AX1)=A^T0=0
所以X1是A^TAX=0的解.
故 Ax=0 的解是 A^TAX=0 的解.

(2)设X2是A^TAX=0的解, 则A^TAX2=0
等式两边左乘 X2^T得 X2^TA^TAX2=0
所以有 (Ax2)^T(Ax2)=0
所以 AX2=0. [长度为0的实向量必为0向量, 此时用到A是实矩阵]
所以X2是AX=0的解.
故A^TAX=0的解是AX=0的解.

综上知齐次线性方程组AX=0与A^TAX=O是同解方程组.
所以它们的基础解系所含向量的个数相同
故有 r(A) = r(A^TA)

要证明r（A）=r〔A∧T）A〕只需证明齐次方程AX=0与（A∧T）AX=0同解即可
AX=0，那么在其等式两边左乘A∧T得到（A∧T）AX=0。
（A∧T）AX=0，两边左乘X∧T得（X∧T）（A∧T）AX=0，即〔（AX）∧T〕（AX）=0这表示向量AX与自身的内积为0，当且仅当AX=0.
从而结论得证...

全部展开

要证明r（A）=r〔A∧T）A〕只需证明齐次方程AX=0与（A∧T）AX=0同解即可
AX=0，那么在其等式两边左乘A∧T得到（A∧T）AX=0。
（A∧T）AX=0，两边左乘X∧T得（X∧T）（A∧T）AX=0，即〔（AX）∧T〕（AX）=0这表示向量AX与自身的内积为0，当且仅当AX=0.
从而结论得证

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A是m*n矩阵 则r(A)=r(A^TA) 怎么证明 A是m*n矩阵,A^TA为正定矩阵为什么⇒ R(A^TA)=n, 设A是m*n实矩阵,若R=（A^TA)=5,则R(A)=? 定理：A是m*n矩阵,r(A)=r A是m×n矩阵,r（A）=m A是m×n矩阵,r(A)=m 设A是m*n矩阵,且R(A)=r,则当r=m,r=n,m=n,r 设A是m*n实矩阵,若r（ATA)=5,则r(A)= 若A是m*n矩阵,B是n*s矩阵,若AB=0,则r(A)+r(B) 设A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,证明:若r(A)=n,则r(AB)=r(B). 证明：对任意矩阵A,有r(A^TA)=r(AA^T)=r(A) 设A,B是n阶实矩阵,且R（A+B）=n,证明A^TA+B^TB是正定矩阵. 设A,B是n阶实矩阵,且R（A+B）=n,证明A^TA+B^TB是正定矩阵. 设非零矩阵A是m*s矩阵,B是s*n矩阵满足AB=0,则R(A) 矩阵秩性质问题若 矩阵A是m×s矩阵,B是s×n矩阵,若AB=0,则R(A)+R(B) 设A为m*n实矩阵,A^TA为正定矩阵,证明:线性方程组AX=0只有零解.资料上证明是 由于r(A^TA)≤r(n)≤n,可我不这个公式是哪里来的,还有公式是r(AB)≤r(A),r(AB)≤r(B),.上面不懂得问题我在书上找到了,现 线性代数有关矩阵的一个问题设A是m×n矩阵,R（A）=r,证明存在秩为r的m×n矩阵B与秩为r的r×n矩阵C,使A=BC 设A和B都是m*n实矩阵,满足r(A+B)=n,证明A^TA+B^TB正定