作业帮lim(x-tanx)/x^2=lim[(x/x^2)-x/x^2]吗?tanx等价于x 可以把题目tanx替换成x吗?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 10:42:05
lim(x-tanx)/x^2=lim[(x/x^2)-x/x^2]吗?tanx等价于x 可以把题目tanx替换成x吗?
lim(x-tanx)/x^2=lim[(x/x^2)-x/x^2]吗?
tanx等价于x 可以把题目tanx替换成x吗?
lim(x-tanx)/x^2=lim[(x/x^2)-x/x^2]吗?tanx等价于x 可以把题目tanx替换成x吗?
楼上"对【加减项】做无穷小替换的错误"说法有偏颇
等价无穷小量替换 可以 用于 【加减项】 的替换 , 只不过要注意使用的条件
在下图中
我给出了"等价无穷小量替换 可以 用于 【加减项】 的替换"的条件
并且就LZ给的例子 和 我自己举的例子 做出了使用方法的介绍
请参见下图
不可以，【等价无穷小量替换】方法只能对【乘积因子，包括分母中的乘积因子】进行。
特别类似此题做法是常见对【加减项】做无穷小替换的错误。错误，且没有任何替换依据。
类似本题,如要替换 tanx ，正确的考虑应要更进一步使用【泰勒定理】，将函数展到更精确的高阶无穷小，将此【0/0 不定式】化为【确定型】，有：
x->0 时， tanx = x+1/3*x^3 +2/5*x^5+...
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不可以，【等价无穷小量替换】方法只能对【乘积因子，包括分母中的乘积因子】进行。
特别类似此题做法是常见对【加减项】做无穷小替换的错误。错误，且没有任何替换依据。
类似本题,如要替换 tanx ，正确的考虑应要更进一步使用【泰勒定理】，将函数展到更精确的高阶无穷小，将此【0/0 不定式】化为【确定型】，有：
x->0 时， tanx = x+1/3*x^3 +2/5*x^5+o(x^5)
lim(x->0) (x-tanx)/x^2
=lim(x->0) [ x - (x+1/3*x^3 +o(x^3) ]/x^2
=lim(x->0) [ -1/3*x^3 - o(x^3) ]/x^2
=lim(x->0) -1/3*x - o(x^3)/x^2
=0
即或：
lim(x->0) (x-tanx)/x^3
=lim(x->0) [ x - (x+1/3*x^3 +o(x^3) ]/x^3
=lim(x->0) [ -1/3*x^3 - o(x^3) ]/x^3
=lim(x->0) -1/3 - o(x^3)/x^3
= -1/3
x-tanx ~ 1/3*x^3
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