在等边三角形ABC内有一点P,使角APB、角BPC、角APC之比为5:6:7,求以AP、BP、CP为边的三角形三内角之比.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/16 11:34:44

在等边三角形ABC内有一点P,使角APB、角BPC、角APC之比为5:6:7,求以AP、BP、CP为边的三角形三内角之比.
在等边三角形ABC内有一点P,使角APB、角BPC、角APC之比为5:6:7,求以AP、BP、CP为边的三角形三内角之比.

在等边三角形ABC内有一点P,使角APB、角BPC、角APC之比为5:6:7,求以AP、BP、CP为边的三角形三内角之比.
三个内角的比为2：3：4.理由：
在AP的一侧以AP长为边作等边△APD,使D位于△ABC外AC边一侧,
易证△ABP≌△ACD（SAS）,
因此,CD＝PB,PD＝PA,△APD就是以AP、BP、CP为边的三角形
设∠APB＝5x,∠BPC=6x,∠APC=7x,
由周角为360°,得∠APB+∠BPC+∠APC=18x＝360°,∴x=20°,
于是,∠APC=140°,∠APB＝100°,∠BPC＝120°.
∠DPC＝∠APC－60°＝80°,
∠PDC＝∠ADC－∠ADP＝∠APB－60°＝40°,
从而∠PCD＝180°－（∠DPC+PDC）＝60°
所以,三内角的比为40°：60°：80°＝2：3：4

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2:3:4
解答如下:
易得:∠APB=100度
∠BPC=120度
∠CPA=140度
以PA为边往两侧作正三角形分别为正三角形PAM和正三角形PAN(其中M为靠近AB一侧的点,N为靠近AC一侧的点.连接BM,CN.
比较容易得出三角形PMC或三角形PNB为PA,PB,PC相等边构成的三角形. 这样可以得出:内角分别为40度,60度和80度
参考：
作三角形ABP'全等于三角形ACP(P'在三角形ABC外)
AP=AP'
又角P'AP=60度(由角P'AB=角PAC可知)
PP'=PA
P'C=PC
所以PA,PB,PC为三边的三角形即三角形P'PB
角BP'P=140-60=80
角P'PB=100-60=40
角P'BP=180-80-60=40
PA,PB,PC为三边的三角形的内角比3:4:2

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