在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交BC于F,求证:∠CFE=∠CEF.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/09 06:04:52

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交BC于F,求证:∠CFE=∠CEF.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交BC于F,求证:∠CFE=∠CEF.

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交BC于F,求证:∠CFE=∠CEF.
证明:证法一:在Rt△AFC中,
∠CFA=90°-∠1(直角三角形两锐角互余)
同理在Rt△AED中,
∠AED=90°-∠2.
又∵AF平分∠CAB(已知)
∴∠1=∠2(角平分线定义)
∴∠AED=∠CFE(等量代换)
又∵∠CEF=∠AED(对顶角相等)
∴∠CEF=∠CFE.
证法二:利用三角形外角定理证.
∵∠CEF=∠1+∠3(1),
∠CFE=∠B+∠2(2)(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
又∠3+∠ECF=90°,
∠B+∠FCE=90°(已知)
∴∠3=∠B.
由(1)、(2)可知∠CEF=∠CFE.(等量代换)