作业帮已知抛物线y^2=6x的弦AB经过点P(4,2),且OA⊥OB,弦AB所在直线的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 00:48:27
已知抛物线y^2=6x的弦AB经过点P(4,2),且OA⊥OB,弦AB所在直线的方程
已知抛物线y^2=6x的弦AB经过点P(4,2),且OA⊥OB,弦AB所在直线的方程
已知抛物线y^2=6x的弦AB经过点P(4,2),且OA⊥OB,弦AB所在直线的方程
直线AB的斜率一定存在设为k（k≠0）
则AB方程为y-2=k(x-4),
y-2=k(x-4)与y²=6x联立消去x
得 y-2=k(y²/6-4)
整理得 ky²-6y+12-24k=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∴y1*y2=(12-24k)/k
∵OA垂直OB,
∴向量OA●OB=0
即y1y2+x1x2=0
∴ y1y2+(y²1y²2)/36=0
∵y1y2≠0
∴y1y2=-36
∴(12-24k)/k=-36
解得k=-1
,∴AB所在直线的方程为
y-2=-(x-4)
即x+y-6=0
希望能帮到你啊,不懂可以追问,如果你认可我
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(1)解法1：
该直线必过（F，0）
（这是一条推论，考试不能直接用，不过你知道怎么证的就可以了）
得知F=3
所以该直线设为Y=KX-3K
再把（4，2）带进去，得知直线方程为
Y=2X-6
联立得2X^2-15X+18=0
根据弦长公式求得AB=9倍根号5/2
2） 解法2：常规解法
设直线AB的斜率为k，
全部展开
(1)解法1：
该直线必过（F，0）
（这是一条推论，考试不能直接用，不过你知道怎么证的就可以了）
得知F=3
所以该直线设为Y=KX-3K
再把（4，2）带进去，得知直线方程为
Y=2X-6
联立得2X^2-15X+18=0
根据弦长公式求得AB=9倍根号5/2
2） 解法2：常规解法
设直线AB的斜率为k，
则方程为y-2=k(x-4)，
A，B两点坐标为(x1,y1)(x2,y2)
OA垂直OB,(y1/x1)(y2/x2)=-1,
即y1y2+x1x2=0
,再y1^2=6x1,y2^2=6x2两式相乘
得x1x2的值
将y^2=6x与直线方程联立
即：(kx-4k+2)^2=6x ,
然后用伟达定理得x1+x2,.x1x2=
可以求出k的值
最后用弦长公式可求出AB的长
收起
解，
假设直线AB的斜率不存在时，
AB的方程为x=4
当x=4时，y=2√6或-2√6
此时，不满足OA⊥OB，
∴直线AB的斜率存在，
当k=0，直线和抛物线仅有一个交点，不满足题意。
设AB的直线方程为y=k(x-4)+2（k≠0）
又，y²=6x
联立方程，整理得，
k²x²-(8...
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解，
假设直线AB的斜率不存在时，
AB的方程为x=4
当x=4时，y=2√6或-2√6
此时，不满足OA⊥OB，
∴直线AB的斜率存在，
当k=0，直线和抛物线仅有一个交点，不满足题意。
设AB的直线方程为y=k(x-4)+2（k≠0）
又，y²=6x
联立方程，整理得，
k²x²-(8k²-4k+6)x+(2-4k)²=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∴x1+x2=(8k²-4k+6)/k²，x1*x2=(2-4k)²/k²【1】
又，OA⊥OB
向量OA*OB=0
∴x1x2+y1*y2=0
x1*x2+(kx1-4k+2)(kx2-4k+2)=0
整理得，(k²+1)x1*x2+k(2-4k)(x1+x2)+(2-4k)²=0
把【1】代人，
解出，k=1/2,或k=-1
特殊情况：
当k=1/2时，直线AB的方程是y=x/2，原点O和点A重合了，根据零向量和任意的向量都垂直，
因此，也满足题意。
∴直线的方程为：x+y-6=0，或y=x/2。
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