作业帮若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,求常数k的取值答案是k=4或k
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 22:21:23
若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,求常数k的取值答案是k=4或k
若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,求常数k的取值
答案是k=4或k
若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,求常数k的取值答案是k=4或k
方程可化简为kx=(x+1)^2,其中x的定义域为（-1,+无穷）,
左边的图像是从原点出发,在x轴上方的射线（因为kx>0）；
右边的图像是抛物线的右半部分,因为x+1>0;
可以求出两条图像相切时k=0,或者k=4,所以两条图像有一个交点有两种情况,相切或者相交只有一个交点,所以k的取值范围是：
k=4或者k0 (1)
x+1>0 (2)
kx=(x+1)^2 (3)
对于（3）
x^2+(2-k)x+1=0
(1)当判别式=0即(2-k)^2-4=0时
k=4或k=0(此时lgkx无意义,此根舍去)
k=4时,x=1,满足lgkx=2lg(x+1)
(2)当判别式>0即(2-k)^2-4>0时
k>4或k4时,x^2+(2-k)x+1=0有两不等正实根
且两正根均满足(1),(2)此时方程lgkx=2lg(x+1)有2个实根所以k>4不合题意
b)当k-1,x2
2lg(x+1)=lg(x+1)²=lg(kx) 所以(x+1)²=kx
开出来得：x²+(2-k)x+1=0 根据（2-k）²-4*1*1=0 解得k=4或k=0
因为 lg(kx)=2lg(x+1)=lg(x+1)^2
所以 kx=(x+1)^2
x^2+(2-k)x+1=0 有且只有一个解
（2-k)^2-4=0
所以k=0 或 k=4
lg(kx)=2lg(x+1),
lg(kx)=lg(x+1)^2,
kx=(x+1)^2,
kx=x^2+2x+1,
x^2+(2-k)x+1=0,
只有一个实数解,△=0,
(2-k)^2-4*1*1=0 ,
(2-k)^2=4,
2-k=±2,
k=0 or k=4,
k=0时lg(kx)不成立，
所以k=4。
2lg(x+1)-lg(kx)=0
lg(x+1)^2-lg(kx)=0
lg((x+1)^2/kx)=0
(x+1)^2=kx
x^2+(2-k)x+1=0只有一个实数解
即（2-k)^2-4=0
所以k=0或k=4
可以根据图像来判断比较简单。2lg(x+1)=lg(x+1)^2 对数函数是单调函数，要想让等式成立只能让kx=(x+1)^2即直线y=kx和抛物线的右支y=(x+1)^2有交点。 为什么是右支呢，因为题目本身的lg（x+1）限定了定义域，就是x+1>0即x>-1 直线也是只能取x轴上方部分，但是因为画出来也不影响结果，所以就画出来了。 只有如图所示两种情况符合题意，一种是k=4，此时相切。 一种是k<0，因为左支的x不在定义域内，所以抛物线只有右支，k<0时和直线只有一个交点
解
lg(kx)=2lg(x+1)
lg(kx)=lg(x+1)²
kx=(x+1)²
x²+(2-k)x+1=0
△=(2-k)²-4=0
∴4--4k+k²-4=0
k²-4k=0
k(k-4)=0
∴k=0或k=4
但kx>0
∴k≠0
∴k=4
∵方程lg(kx)=2lg(x+1),即kx=(x+1)²;k≠0；
∴x²+(2-k)x+1=0;
又∵方程只有一个实数解；故x^2+(2-k)x+1=0只有一个实数解。
∴△=（2-k）²-4*1*1=0；
可解K=4或K=0（舍去）；