数列2,7,15,26,40.求通项公式

数列2,7,15,26,40.求通项公式
数列2,7,15,26,40.求通项公式

数列2,7,15,26,40.求通项公式
有一条规律,那就是一列数,如果有k个,让彼此相邻的两个数相减,会得到一列（k-1）个差组成的新数列.如果新数列不是常数数列,就继续这样减下去,直到为常数数列为止.如果常数数列为一个（k-m）个差组成的数列,那么原来数列通项就是关于项数n的m次方的多项式.
由此可知,这个数列是关于n的2次得多项式.
记通项为f（n）=an^2+bn+c
则有 2=a+b+c
7=4a+2b+c
15=9a+3b+c
解得a= 3/2 b=1/2 c=0
所以 通项公式是 3/2n^2+1/2n

设b(n)=a(n+1)-a(n)
依题意知b(n)是以5为首项,3为公差的等差数列
所以b(n)=5+3(n-1)=3n+2
所以a(n+1)-a(n)=3n+2
所以
a(2)-a(1)=5
a(3)-a(2)=8
.
.
a(n)-a(n-1)=3n-2
各项相加得a(n)-a(1)=5+8+...+3n-2
即a(n)=[(5+3n-2)(n-1)/2]+2
所以a(n)=[(3n^2)+n]/2

7-2=5,
15-7=8=5+3,
26-15=11=8+3，
40-26=14=11+3
Bn=An-AN-1=5+3(n-2)=3n-1，n>=2
An=S（Bn）+A1=(5+3n-1)(n-1)/2+2=n(3n+1)/2

分析：该数列中 a1=2,a2=7,a3=15,a4=26,a5=40……
观察数列可知：a2-a1 ，a3-a2 ，a4-a3 ，…… 成等差数列，且公差d=3
所以，数列{an-a(n-1)}的通项为an-a(n-1)=(a2-a1)+3(n-1)=5+3(n-1)=3n+2
前n项和S=[an...

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分析：该数列中 a1=2,a2=7,a3=15,a4=26,a5=40……
观察数列可知：a2-a1 ，a3-a2 ，a4-a3 ，…… 成等差数列，且公差d=3
所以，数列{an-a(n-1)}的通项为an-a(n-1)=(a2-a1)+3(n-1)=5+3(n-1)=3n+2
前n项和S=[an-a(n-1)]+[a(n-1)-a(n-2)]+……+(a2-a1)
=（首项+末项）*项数/2
=(3n+2+5)*(n-1)/2
=(3n+7)(n-1)/2
所以所求数列{an}的通项公式
an=[an-a(n-1)]+[a(n-1)-a(n-2)]+……+(a2-a1)+a1 累加法
=(3n+7)(n-1)/2+2

收起

b1=a2-a1=7-2=5
b2=a3-a2=15-7=8
b3=a4-a3=26-15=11
b4=a5-a4=40-26=14
可见{bn}是公差为d=3的等差数列
且bn=a(n+1)-an=b1+(n-1)d=5+3(n-1)=3n+2
an-a(n-1)=3(n-1)+2=3n-1
a(n-1)-a(n-2)=3(n-1)-1=3...

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b1=a2-a1=7-2=5
b2=a3-a2=15-7=8
b3=a4-a3=26-15=11
b4=a5-a4=40-26=14
可见{bn}是公差为d=3的等差数列
且bn=a(n+1)-an=b1+(n-1)d=5+3(n-1)=3n+2
an-a(n-1)=3(n-1)+2=3n-1
a(n-1)-a(n-2)=3(n-1)-1=3n-4
.....
a2-a1=3*2-1=5
叠加an-a1=3(n+n-1+n-2+....+2)-(n-1)*1
=3(n+2)*(n-1)/2-(n-1)
=3(n^2+n-2)/2-n+1
an=(1/2)(3n^2+n)

收起

S： 2，7，15，26，40．
N： 5，8，11，14...（5+3n）
S=（3n^2+n)/2