已知关于x的不等式(kx-k²-4)(x-4)>0,其中k∈R,试求不等式解集A.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 12:44:47
已知关于x的不等式(kx-k²-4)(x-4)>0,其中k∈R,试求不等式解集A.
已知关于x的不等式(kx-k²-4)(x-4)>0,其中k∈R,试求不等式解集A.
已知关于x的不等式(kx-k²-4)(x-4)>0,其中k∈R,试求不等式解集A.
答:
不等式(kx-k²-4)(x-4)>0
分解为两个不等式组:
kx-k²-4>0
x-4>0,x>4
或者:
kx-k²-4<0
x-4<0,x<4
1)第一种情况:x>4
kx-k²-4>0
当k=0时,不符合;所以:k≠0
当k<0时,两边同除以k:x<k+4/k<0,与x>0矛盾;
当k>0时,两边同除以k:x>k+4/k>=2√(k*4/k)=4,所以:x>4
2)第二种情况:x<4
kx-k²-4<0
当k=0时,-4<0符合;
当k<0时,两边同除以k:x>k+4/k,所以:k+4/k<x<4
当k>0时,两边同除以k:x<k+4/k,因为:k+4/k>=4,所以:x<4
综上所述,不等式(kx-k²-4)(x-4)>0的解集A为:
k=0时,A={x|x<4}
k>0时,A={x|x≠4}
k<0时,A={x|k+1/k<x<4}
k=0 -4(x-4)>0 x-4<0 A={x|x<4}
k≠0 x1=4 x2=(k^2+4)/k
k>0时 x2=k+4/k≥2√4=4 k=2时 ( 2x-8)(x-4)>0 A={x|x≠4}
k>0且k≠2时 A={x|x>(k^2+4)/k或x<4}
k<0时 (-kx+k^2+4)(x-4)<0
x1=4 x2=(k^2+4)/k <0 A={x|(k^2+4)/k
原题是这样的:
已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0,其中k∈R.
(1)当k变化时,试求不等式的解集A;
(2)对于不等式的解集A,若满足A∩Z=B(其中Z为整数集).试探究集合B能否为有限集?若能,求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值,并用列举法表示集合B;若不能,请说明理由.
考点:一元二次不等式与一元二次方程.
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原题是这样的:
已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0,其中k∈R.
(1)当k变化时,试求不等式的解集A;
(2)对于不等式的解集A,若满足A∩Z=B(其中Z为整数集).试探究集合B能否为有限集?若能,求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值,并用列举法表示集合B;若不能,请说明理由.
考点:一元二次不等式与一元二次方程.
分析:(1)对k的讨论是本题解题的关键,考虑到方程类型,最高次项系数的正负及根的大小等因素.
(2)由(1)的讨论为基础,继续分析B中元素的个数并比较元素最少的情况
(1)当k=0时,A=(-∞,4);
当k>0且k≠2时,A=(-∞,4)∪(k+4
k
,+∞);
当k=2时,A=(-∞,4)∪(4,+∞);
当k<0时,A=(k+
4
k
,4).
(2)由(1)知:当k≥0时,集合B中的元素的个数无限;
当k<0时,集合B中的元素的个数有限,此时集合B为有限集.
因为k+
4
k
≤-4,当且仅当k=-2时取等号,
所以当k=-2时,集合B的元素个数最少.
此时A=(-4,4),故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.
点评:本题考查的分类讨论的思想,这也是高中数学中经常考查的思想内容.
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