设f(x)(x∈R)对任意x∈R,有f(x+1989)=f(x+1988)+f(x+1990),试证,函数y=f(x)为周期函数

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 21:44:17

设f(x)(x∈R)对任意x∈R,有f(x+1989)=f(x+1988)+f(x+1990),试证,函数y=f(x)为周期函数
设f(x)(x∈R)对任意x∈R,有f(x+1989)=f(x+1988)+f(x+1990),试证,函数y=f(x)为周期函数

设f(x)(x∈R)对任意x∈R,有f(x+1989)=f(x+1988)+f(x+1990),试证,函数y=f(x)为周期函数
证明：
令m=x+1989 (m∈R)
则由题：f(m)=f(m-1)+f(m+1)
再令n=x+1988 (n∈R)
则：f(n+1)=f(n)+f(n+2)
因为m,n,x的任意性,不妨令m=n=x,则f(x)=f(x-1)+f(x)+f(x+2)
==> f(x-1)=-f(x+2) ==> f(x)=-f(x+3) ==> f(x+3)=-f(x+6) ==> f(x)=f(x+6)
所以函数y=f(x)为周期T=6的函数,得证.
当然上面的做法只是便于理解.如果是解题的话,可以直接写：
由题可知：f(x)=f(x-1)+f(x+1), f(x+1)=f(x)+f(x+2)
==> f(x)=f(x-1)+f(x)+f(x+2)
==> f(x-1)=-f(x+2)
==> f(x)=f(x+6)
所以函数y=f(x)为周期T=6的函数,得证.
希望对您有帮助.

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