若P为三角形ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°则点P叫做三角形ABC的费马点如图在锐角ABC外侧作等边三角形ACB'连接BB'求证BB'过三角形ABC的费马点P且BB'=PA+PB+PC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/30 07:53:39
若P为三角形ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°则点P叫做三角形ABC的费马点如图在锐角ABC外侧作等边三角形ACB'连接BB'求证BB'过三角形ABC的费马点P且BB'=PA+PB+PC
若P为三角形ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°则点P叫做三角形ABC的费马点如图在锐角ABC外侧作等边三角形ACB'连接BB'求证BB'过三角形ABC的费马点P且BB'=PA+PB+PC
若P为三角形ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°则点P叫做三角形ABC的费马点如图在锐角ABC外侧作等边三角形ACB'连接BB'求证BB'过三角形ABC的费马点P且BB'=PA+PB+PC
1.先证明共线
连接PB'
角APC+角AB'C=180°
故APCB'四点共圆
故角APB'=ACB'=60°
角APB+APB'=180°
故PB PB'共线
2.在PB'取PD=PA
故三角形PAD为等边三角形
AD=PA=PD,角ADP=60°
角ADB'=120°=APC
AP=AD,AB'=AC
故三角形ADB'全等于APC
DB'=PC
PB'=PD+DB'=PA+PC
BB'=PA+PB+PC
显然该费马点到三角形三个顶点的距离和最小
第一个问题:
过A作PB的垂线,垂足为D。
∵P是△ABC的费马点,∴∠APB=120°,∴点D在BP的延长线上,∴∠APD=60°,
∴AD=(√3/2)PA=2√3。
第二个问题:
∵P是△ABC的费马点,∴∠APB=∠APC=120°。
∵△ACB′是△ABC外的一个正三角形,∴∠ACB′=∠AB′C=60°,∴∠APC+∠AB′C...
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第一个问题:
过A作PB的垂线,垂足为D。
∵P是△ABC的费马点,∴∠APB=120°,∴点D在BP的延长线上,∴∠APD=60°,
∴AD=(√3/2)PA=2√3。
第二个问题:
∵P是△ABC的费马点,∴∠APB=∠APC=120°。
∵△ACB′是△ABC外的一个正三角形,∴∠ACB′=∠AB′C=60°,∴∠APC+∠AB′C=180°,
∴A、P、C、B′共圆,∴∠APB′=∠ACB′=60°,∴∠APB+∠APB′=180°,
∴B、P、B′共线,∴BB′过△ABC的费马点。
第三个问题:
在BB′上取一点E,使PE=PC。
∵PE=PC、∠CPE=∠APC-∠APB′=120°-60°=60°,∴△PCE是正三角形,
∴∠PCE=∠PEC=60°、PC=PE=EC。
∵△ACB′是正三角形,∴AC=B′C。
∵∠PEC=60°,∴∠B′EC=120°,∴∠APC=∠B′EC。
又∠ACP=∠PCE-∠ACE=60°-∠ACE=∠ACB′-∠ACE=∠B′CE。
∴由AC=B′C、∠APC=∠B′EC、∠ACP=∠B′CE,得:△ACP≌△B′EC,∴PA=EB′。
显然有:BB′=PB+PE+EB′,又PE=PC、EB′=PA,∴BB′=PA+PB+PC
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