如下图,在△ABC中,AB>AC,AD是中线,AE是高,求证:AB²-AC²=2BC.DE.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/14 21:57:09
如下图,在△ABC中,AB>AC,AD是中线,AE是高,求证:AB²-AC²=2BC.DE.
如下图,在△ABC中,AB>AC,AD是中线,AE是高,求证:AB²-AC²=2BC.DE.
如下图,在△ABC中,AB>AC,AD是中线,AE是高,求证:AB²-AC²=2BC.DE.
证明:
∵AE⊥BC
∴AB²-BE²=AE²,AC²-CE²=AE²
∴AB²-BE²=AC²-CE²
∴AB²-AC²=BE²-CE²=(BE+CE)(BE-CE)=BC(BE-CE)
∵AD是中线
∴BD=CD
∵BE=BD+DE,CE=CD-DE
∴BE-CE=BD+DE-CD+DE=2DE
∴AB²-AC²=2BC×DE
AB²=AE²+EB²
AC²=AE²+EC²
AB²-AC²=EB²-EC²=(EB+EC)(EB-EC)=BC(EB-EC)
∵AD为中线
∴AB²-AC²=BC(EB-EC)=BC(BD+DE-EC)=BC(DC-EC+DE)=BC*2DE
勾股定理:
AB²=AE²+BE²
AC²=AE²+EC²
联立
AB²-AC²=BE²-EC²=(BE+EC)(BE-EC)=BC·((BD+DE)-(DC-DE))=BC·(DE+DE)=2BC·DE
【分析】 由勾股定理可得出AB²=BE²+AE²,AC²=AE²+EC²,则AB²-AC²=BE²-EC²,由平方差公式可得出答案。 【解答】 ∵AE是高 ∴△ABE和△ACE是直角三角形 ∴AB²=BE²+AE²,AC²=AE²+EC² ∴AB²-AC² =BE²-EC2² =(BE+CE)(BE-CE) =BC(BD+DE-CE) ∵AD是中线 ∴BD=CD=DE+CE ∴AB²-AC² =BC(CD+DE-CE) =BC(DE+CE+DE-CE) =BC(DE+DE) =2BC•DE