求三角函数的公式,什么正弦定理,余弦定理,倍角公式都要!

求三角函数的公式,什么正弦定理,余弦定理,倍角公式都要!
求三角函数的公式,什么正弦定理,余弦定理,倍角公式都要!

求三角函数的公式,什么正弦定理,余弦定理,倍角公式都要!
如右图,当平面上的三点A、B、C的连线,AB、AC、BC,构成一个直角三角形,其中∠ACB为直角.对于AB与AC的夹角∠BAC而言：

Rt△ABC
邻边（adjacent）b=AC
　　对边（opposite）a=BC
　　斜边（hypotenuse）h=AB
　　邻边（adjacent）b=AC
　　
基本函数\x09英文\x09缩写\x09表达式\x09语言描述
正弦函数
Sine\x09sin\x09a/h\x09∠A的对边比斜边
余弦函数
Cosine\x09cos\x09b/h\x09∠A的邻边比斜边
正切函数
Tangent\x09tan\x09a/b\x09∠A的对边比邻边
余切函数
Cotangent\x09cot\x09b/a\x09∠A的邻边比对边
正割函数
Secant\x09sec\x09h/b\x09∠A的斜边比邻边
余割函数
Cosecant\x09csc\x09h/a\x09∠A的斜边比对边　
　　注：tan、cot曾被写作tg、ctg,现已不用这种写法.
罕见三角函数
　　除了上述六个常见的函数,还有一些不常见的三角函数：

versin
函数名\x09与常见函数转化关系
正矢函数
versinθ=1-cosθ
\x09vercosinθ=1+cosθ
余矢函数
coversinθ=1-sinθ
\x09covercosinθ=1+sinθ
半正矢函数
haversinθ=(1-cosθ)/2
\x09havercosinθ=(1+cosθ)/2
半余矢函数
hacoversinθ=(1-sinθ)/2
\x09hacovercosinθ=(1+sinθ)/2
外正割函数
exsecθ=secθ-1
外余割函数
excscθ=cscθ-1
单位圆定义
　　六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义.单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形.但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角.它也提供了一个图像,把所有重要的三角函数都包含了.根据勾股定理,

三角函数
单位圆的方程是：x^2+y^2=1
　　图像中给出了用弧度度量的一些常见的角.逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角.设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ,并与单位圆相交.这个交点的 x 和 y 坐标分别等于cosθ和sinθ.图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1,所以有 sinθ = y/1 和 cosθ = x/1.单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式.
　　对于大于 2π 或小于等于2π 的角度,可直接继续绕单位圆旋转.在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度 θ 和任何整数 k.
　　周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”.正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆,也就是 2π 弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆,也就是 π 弧度或 180°.上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数的定义如图所示.
　　

其他四个三角函数的定义
在正切函数的图像中,在角 kπ 附近变化缓慢,而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变化迅速.正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐近线.这是因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷,而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷．
　　

三角函数
另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定
　　义,类似于历史上使用的几何定义.特别 是,对于这个圆的弦 AB,这里的 θ 是对向角的一半,sin θ 是 AC（半弦）,这是印度的阿耶波多介入的定义.cosθ 是水平距离 OC,versin θ =1-cosθ 是CD.tanθ是通过 A 的切线的线段 AE 的长度,所以这个函数才叫正切.cotθ 是另一个切线段 AF. secθ =OE 和 cscθ =OF 是割线（与圆相交于两点）的线段,所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影.DE 是 exsecθ = secθ-1（正割在圆外的部分）.通过这些构造,容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散,而余割和余切在 θ 接近零的时候发散.
编辑本段级数定义
　　只使用几何和极限的性质,可以证明正弦的导数是余弦,余弦的导数是负的正弦.（在微积分中,所有角度都以弧度来度量）.我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数 x 都成立：
　　

这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义.它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如,在傅立叶级数中）,因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来,不需要任何几何方面的考虑.这样,这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立.
　　其他级数可见于：
　　

注：Un是n次上/下数,
　　Bn是n次伯努利数,
编辑本段三角函数线
　　依据单位圆定义,
　　我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值.
　　如图所示,圆O是一个单位圆,P是α的终边与单位圆上的交点,M点是P在x轴的投影,S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点,过S点做圆O的切线l.
　　那么向量MP对应的就是α的正弦值,向量OM对应的就是余弦值.OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T,则向量ST对应的就是正切值.向量的起止点不能颠倒,因为其方向是有意义的.
　　借助线三角函数线,我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正,余弦值为负,正切值为负.
　　1．锐角三角函数定义
　　锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec）,（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数.
　　正弦（sin）等于对边比斜边；
　　余弦（cos）等于邻边比斜边；
　　正切（tan）等于对边比邻边；
　　余切（cot）等于邻边比对边；
　　正割（sec)等于斜边比邻边；
　　余割 (csc)等于斜边比对边.
　　2．互余角的三角函数关系
　　sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
　　tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
　　3．同角三角函数间的关系
　　商数关系：
　　sinA/cosA=tanA
　　•平方关系：
　　sin^2(A)+cos^2(A)=1
　　•积的关系：
　　sinA=tanA•cosA
　　cosA=cotA•sinA
　　cotA=cosA•cscA
　　tanA•cotA=1
　　•倒数关系：
　　直角三角形ABC中,
　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
　　余弦等于角A的邻边比斜边
　　正切等于对边比邻边,
　　余切等于邻边比对边
　　4.三角函数值
　　（1）特殊角三角函数值
　　（2）0°～90°的任意角的三角函数值,查三角函数表.
　　（3）锐角三角函数值的变化情况
　　（i）锐角三角函数值都是正值
　　（ii）当角度在0°～90°间变化时,
　　正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
　　余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
　　正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
　　余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
　　（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时,
　　0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,
　　当角度在0°0.
　　特殊的三角函数值
　　
A \x090°\x0930°\x0945°\x0960°\x0990°
sinA\x090\x091/2\x09√2/2\x09√3/2\x091
cosA\x091\x09√3/2\x09√2/2\x091/2\x090
tanA\x090\x09√3/3\x091\x09√3\x09None
cotA\x09None\x09√3\x091\x09√3/3\x090
“锐角三角函数”属于三角学,是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容.从《数学课程标准》看,中学数学把三角学内容分成两个部分,第一部分放在义务教育第三学段,第二部分放在高中阶段.在义务教育第三学段,主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容,本套教科书安排了一章的内容,就是本章“锐角三角函数”.在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程.无论是从内容上看,还是从思考问题的方法上看,前一部分都是后一部分的重要基础,掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法,是学习三角函数和解斜三角形的重要准备.

正弦定理
　　在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
　　即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径）
　　这一定理对于任意三角形ABC，都有
　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
　　R为三角形外接圆半径
　　a=bsinA/sinB
　　=csinA/sinC<...

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正弦定理
　　在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
　　即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径）
　　这一定理对于任意三角形ABC，都有
　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
　　R为三角形外接圆半径
　　a=bsinA/sinB
　　=csinA/sinC
余弦定理
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
余弦定理性质
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质—— (注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。) a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
常用倍角公式
正弦 　　sin2A=2sinA·cosA 　　
余弦 　　
1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 　　
2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 　　
3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 　　
即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 　　
正切 　　tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）

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正弦定理(Sine theorem) a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 　（1）已知三角形的两角与一边，解三角形 　　（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 　　（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系
余弦定理 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角...

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正弦定理(Sine theorem) a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 　（1）已知三角形的两角与一边，解三角形 　　（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 　　（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系
余弦定理 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质—— 　　a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA 　　b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB 　　c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC 　　cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b) 　　cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c) 　　cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c) 　　（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到） 　　第一余弦定理（任意三角形射影定理） 　　设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 　　a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。
锐角三角函数公式
　　sin α=∠α的对边 / 斜边
　　cos α=∠α的邻边 / 斜边
　　tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边
　　cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边
　　倍角公式
　　Sin2A=2SinA?CosA
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
　　tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）
　　三倍角公式
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
　　三倍角公式推导
　　sin3a
　　=sin(2a+a)
　　=sin2acosa+cos2asina
　　辅助角公式
　　Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
　　sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
　　cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
　　tant=B/A
　　Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
　　降幂公式
　　sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
　　cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
　　tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
半角公式
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
　　sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
　　cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
　　tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
　　三角和
　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
　　两角和差
　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
　　和差化积
　　sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
　　sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
　　cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
　　cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
　　积化和差
　　sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2
　　cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2
　　sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2
　　cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
万能公式
　　sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］
　　cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］
　　tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］

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