求曲线x平方+y平方+z平方-2x=4和x+y+z=0在点(1,1,-2)处的切线及法平面方程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/06 21:01:30
求曲线x平方+y平方+z平方-2x=4和x+y+z=0在点(1,1,-2)处的切线及法平面方程
求曲线x平方+y平方+z平方-2x=4和x+y+z=0在点(1,1,-2)处的切线及法平面方程
求曲线x平方+y平方+z平方-2x=4和x+y+z=0在点(1,1,-2)处的切线及法平面方程
设F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2x -4 G(x,y,z)=x+y+z
∂F/∂x=2x-2 ∂F/∂y=2y ∂F/∂z=2z
则 n1=(0,2,-4)
∂G/∂x=1 ∂G/∂y=1 ∂G/∂z=1
则 n2=(1,1,1)
所以:
| i j k |
n= | 0 2 -4 | =(6,4,-2)
| 1 1 1 |
法平面方程:6(x-1)+4(y-1)-2(z+2)=0
即;6x+4y-2z-14=0
先对已知方程的两边对x求导,得2x+2ydy/dx+2zdz/dx-2=0;1+dy/dx+dz/dx=0;联立解得dz/dx=(y-x+1)/(z-y)
dy/dx=(x-z-2)/(z-y);由此有dy/dx|(1,1,-2)=-1/3,dz/dx|(1,1,-2)=-1/3,从而法向量为(1,-1/3,-1/3)故切线方程为(x-1)/1=(y-1)/-1/3=(z+2)/-1/3;...
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先对已知方程的两边对x求导,得2x+2ydy/dx+2zdz/dx-2=0;1+dy/dx+dz/dx=0;联立解得dz/dx=(y-x+1)/(z-y)
dy/dx=(x-z-2)/(z-y);由此有dy/dx|(1,1,-2)=-1/3,dz/dx|(1,1,-2)=-1/3,从而法向量为(1,-1/3,-1/3)故切线方程为(x-1)/1=(y-1)/-1/3=(z+2)/-1/3;法平面方程为(x-1)+-1/3(xy-1)+-1/3(z+2)=0
收起
可以先求出点在第一个曲面处的切平面,再和第二个曲面联立,即得
由x^2+y^2+z^2-2x=4知,该曲面是球面,球心是(1,0,0)
在(1,1,-2)处的法向量是(0,1,-2)
所以在球面处的切面方程是0(X-1)+1(Y-1)-2(Z+2)=0
切线方程是Y-2Z=5和X+Y+Z=0